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如果列出小于10的所有是3或5的倍数的自然数，有3丶5丶6和9，它们的和是23。

现在请你算出所有1000以下为3或5的倍数的自然数的和。

Fibonacci数列的每后一项都是前面两项的和，若开始的头两项是1和2，那么前10个项就是：

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

请求出以上Fibonacci数列中不超过400,0000的所有偶数的和。

13195的质因数有5丶7丶13丶29。

问：600851475143的最大质因数是……？

假如一个数前后掉转后还是同一个数的话，那个数就叫做「回文数」。由两个二位数的积构成的最大回文数是9009 = 91 × 99。

请找出由两个三位数的积构成的最大回文数。

2520是能被1到10的自然数整除的最小正整数。

那么，能被1到20的自然数整除的最小正整数是……？

前十个正整数的平方和是：1² + 2² + ... + 10² = 385

前十个正整数的和的平方是：(1 + 2 + ... + 10)² = 55² = 3025

因此前十个正整数的和的平方，与前十个正数整数的平方和，的差是2640。

现在请你求出前一百个正整数的和的平方与前一百个正整数的平方和的差。

通过列出前6个质数，我们可知第6个质数是13。

那么第10001个质数是多少呢？

你能够从以下的1000位的数字中，找出连续五位数的积，其积最大吗？

73167176531330624919225119674426574742355349194934

96983520312774506326239578318016984801869478851843

85861560789112949495459501737958331952853208805511

12540698747158523863050715693290963295227443043557

66896648950445244523161731856403098711121722383113

62229893423380308135336276614282806444486645238749

30358907296290491560440772390713810515859307960866

70172427121883998797908792274921901699720888093776

65727333001053367881220235421809751254540594752243

52584907711670556013604839586446706324415722155397

53697817977846174064955149290862569321978468622482

83972241375657056057490261407972968652414535100474

82166370484403199890008895243450658541227588666881

16427171479924442928230863465674813919123162824586

17866458359124566529476545682848912883142607690042

24219022671055626321111109370544217506941658960408

07198403850962455444362981230987879927244284909188

84580156166097919133875499200524063689912560717606

05886116467109405077541002256983155200055935729725

71636269561882670428252483600823257530420752963450

勾股数组就是三个自然数a, b, c：

例如，3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²。

现存在唯一的勾股数组a, b, c，且a + b + c = 1000。请求出这三个数的乘积。

10以下的质数的和为2 + 3 + 5 + 7 = 17。

请求出200,0000以下所有质数的和。

在以下20×20的方阵中，用红色标记了四个在同一斜线上的数字。

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08

49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00

81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65

52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91

22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80

24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50

32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70

67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21

24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72

21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95

78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92

16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57

86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58

19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40

04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66

88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69

04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36

20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16

20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54

01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

这四个数字的乘积是26 × 63 × 78 × 14 = 1788696。

请在上面的方阵中找出在同一条直线上的四个连续的数字，使其乘积最大。（直线方向可为上下丶左右或与水平线呈45度夹角）

「三角数」即用递增的自然数相加得到的数，因此第7个三角数为1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28。前10个三角数为：

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

先让我们来看看前7个三角数各自都有哪些因数吧：

请计算出下面100个50位数字的和的（左数）前10位数字。

37107287533902102798797998220837590246510135740250

46376937677490009712648124896970078050417018260538

74324986199524741059474233309513058123726617309629

91942213363574161572522430563301811072406154908250

23067588207539346171171980310421047513778063246676

89261670696623633820136378418383684178734361726757

28112879812849979408065481931592621691275889832738

44274228917432520321923589422876796487670272189318

47451445736001306439091167216856844588711603153276

70386486105843025439939619828917593665686757934951

62176457141856560629502157223196586755079324193331

64906352462741904929101432445813822663347944758178

92575867718337217661963751590579239728245598838407

58203565325359399008402633568948830189458628227828

80181199384826282014278194139940567587151170094390

35398664372827112653829987240784473053190104293586

86515506006295864861532075273371959191420517255829

71693888707715466499115593487603532921714970056938

54370070576826684624621495650076471787294438377604

53282654108756828443191190634694037855217779295145

36123272525000296071075082563815656710885258350721

45876576172410976447339110607218265236877223636045

17423706905851860660448207621209813287860733969412

81142660418086830619328460811191061556940512689692

51934325451728388641918047049293215058642563049483

62467221648435076201727918039944693004732956340691

15732444386908125794514089057706229429197107928209

55037687525678773091862540744969844508330393682126

18336384825330154686196124348767681297534375946515

80386287592878490201521685554828717201219257766954

78182833757993103614740356856449095527097864797581

16726320100436897842553539920931837441497806860984

48403098129077791799088218795327364475675590848030

87086987551392711854517078544161852424320693150332

59959406895756536782107074926966537676326235447210

69793950679652694742597709739166693763042633987085

41052684708299085211399427365734116182760315001271

65378607361501080857009149939512557028198746004375

35829035317434717326932123578154982629742552737307

94953759765105305946966067683156574377167401875275

88902802571733229619176668713819931811048770190271

25267680276078003013678680992525463401061632866526

36270218540497705585629946580636237993140746255962

24074486908231174977792365466257246923322810917141

91430288197103288597806669760892938638285025333403

34413065578016127815921815005561868836468420090470

23053081172816430487623791969842487255036638784583

11487696932154902810424020138335124462181441773470

63783299490636259666498587618221225225512486764533

67720186971698544312419572409913959008952310058822

95548255300263520781532296796249481641953868218774

76085327132285723110424803456124867697064507995236

37774242535411291684276865538926205024910326572967

23701913275725675285653248258265463092207058596522

29798860272258331913126375147341994889534765745501

18495701454879288984856827726077713721403798879715

38298203783031473527721580348144513491373226651381

34829543829199918180278916522431027392251122869539

40957953066405232632538044100059654939159879593635

29746152185502371307642255121183693803580388584903

41698116222072977186158236678424689157993532961922

62467957194401269043877107275048102390895523597457

23189706772547915061505504953922979530901129967519

86188088225875314529584099251203829009407770775672

11306739708304724483816533873502340845647058077308

82959174767140363198008187129011875491310547126581

97623331044818386269515456334926366572897563400500

42846280183517070527831839425882145521227251250327

55121603546981200581762165212827652751691296897789

32238195734329339946437501907836945765883352399886

75506164965184775180738168837861091527357929701337

62177842752192623401942399639168044983993173312731

32924185707147349566916674687634660915035914677504

99518671430235219628894890102423325116913619626622

73267460800591547471830798392868535206946944540724

76841822524674417161514036427982273348055556214818

97142617910342598647204516893989422179826088076852

87783646182799346313767754307809363333018982642090

10848802521674670883215120185883543223812876952786

71329612474782464538636993009049310363619763878039

62184073572399794223406235393808339651327408011116

66627891981488087797941876876144230030984490851411

60661826293682836764744779239180335110989069790714

85786944089552990653640447425576083659976645795096

66024396409905389607120198219976047599490197230297

64913982680032973156037120041377903785566085089252

16730939319872750275468906903707539413042652315011

94809377245048795150954100921645863754710598436791

78639167021187492431995700641917969777599028300699

15368713711936614952811305876380278410754449733078

40789923115535562561142322423255033685442488917353

44889911501440648020369068063960672322193204149535

41503128880339536053299340368006977710650566631954

81234880673210146739058568557934581403627822703280

82616570773948327592232845941706525094512325230608

22918802058777319719839450180888072429661980811197

77158542502016545090413245809786882778948721859617

72107838435069186155435662884062257473692284509516

20849603980134001723930671666823555245252804609722

53503534226472524250874054075591789781264330331690

下面的循环数列是由正整数根据以下规则构成的：

n → n/2 (若n是偶数)

n → 3n + 1 (若n是奇数)

若数列从13开始，就生成了如下数列：

13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

显然以上数列有10个数字，虽然未经证明（著名的Collatz猜想），但我们认为无论由什么数字开始，数列都会在1处结束。故数列一旦产生了1这一项，就认为数列结束。

这次的问题是：根据以上规则，由100万以下的哪个数字开始，可以产生最长的数列？

请注意：产生的数列可能会包含数字超过100万的项。

从一个2×2的方格的左上角开始，共有6条路径可达到右下角（不能后退）

请问，假如把上述方格的规模改成20×20，共有多少条路径呢？

2¹⁵ = 32768的各位数之和为3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26。

那么2¹⁰⁰⁰的各位数之和为……？

如果把1到5写成英语单词的形式：one, two, three, four, five，那么就一共使用了3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19个字母。

若要把1到1000都写成单词的形式，那么总共要使用多少个字母呢？

请注意：不要把空格和连接符都算进去。例如，342(three hundred and forty-two)包含23个字母，115(one hundred and fifteen)含有20个字母。当使用「and」来表达数字时，要遵循英式英语的语法。

从以下的三角形宝塔的最顶点的数开始，一直往下一层的相邻的数移动，所经过的所有数字的和的最大值是23。

3

7 4

2 4 6

8 5 9 3

亦即3 + 7 + 4 + 9 = 23，暂且称之为最大的「宝塔数」吧。

请找出以下「宝塔」的最大宝塔数：

75

95 64

17 47 82

18 35 87 10

20 04 82 47 65

19 01 23 75 03 34

88 02 77 73 07 63 67

99 65 04 28 06 16 70 92

41 41 26 56 83 40 80 70 33

41 48 72 33 47 32 37 16 94 29

53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14

70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57

91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48

63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31

04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

请注意：由于仅有16384条不同的路径，通过尝试扫描所有的路径我们可以找到答案。不过，Problem 67是一个同样的但要求出一个100层的宝塔的最大宝塔数的问题，它不可能用穷举法解决，因此一个巧妙的算法是必需的。

现提供你如下信息，不过你可能希望自己印证一下。

• 1900年1月1日是星期一
• 除了二月外，四月，六月，九月，十一月，都有30天，其他月份都有31天。
• 二月在平年有28天，在闰年有29天。
• 能被4整除的年份是闰年，不过每个世纪年（??00）必须能被400整除才是闰年。

请问，在20世纪中（从1901年1月1日到2000年12月31日）总共有多少个月份的第一日是星期天？

n的阶乘即n! = n × (n - 1) × ... × 3 × 2 × 1。

例如，10! = 10 × 9 × ... × 3 × 2 × 1 = 3628800，并且其结果的每位数的和为3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27。

请求出100!的结果的每一位数的和。

设d(n)是小于n的所有能整除n的整数的和。

若d(a) = b，d(b) = a且a ≠ b，那么a和b就是一对相亲数，a和b都被称作是相亲数。

例如，对于220，符合上述条件的整数有1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110，故d(220) = 284。类似地，对于284有1, 2, 4, 71, 142，因此d(284) = 220。

请求出10000以下的全部相亲数的和。

下载这个文档names.txt，这个46KB的文本文档包含超过五千个姓氏，你要先把它们按字母表顺序排列好，然后把姓氏中每个字母在字母表中的索引加总，最后将所有索引的和乘以该姓氏在列表中的索引，就得到该姓氏的分值了。

例如，假定你已经把姓氏列表排好了，找到一个姓氏叫Colin，它的字母索引总和为3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53，已经它是第938个姓氏，于是它的分值就是938 × 53 = 49714。

你知道所有名字的总分值是多少吗？

完全数，就是能表示成其小于自身的所有因数的和的正整数。例如，28可表示成1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28，故28是一个完全数。

一个正整数n，若其小于自身的所有因数的和小于n则n是不足数，若大于则n为充足数。

12是最小的充足数，1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16。能表示成两个充足数的和的最小正整数是24。经数学分析，可知任一超过28123的整数都能写成两个充足数的和。

请求出所有不能表示成两个充足数的和的正整数的和。

一个排列就是物体按一定的顺序摆放。例如，3124是数字1, 2, 3, 4的一种排列。如果所有排列都按照数字顺序或字母顺序排列的话，我们就称之为词法顺列。0, 1, 2的所有词法排列是：

012 021 102 120 201 210

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的第100万个词法排列是……？

Fibonacci数列的定义如下：

分子是1的分数被称作「单分数」。分母从2到10的单分数如下：

• ¹/₂ = 0.5
• ¹/₃ = 0.(3)
• ¹/₄ = 0.25
• ¹/₅ = 0.2
• ¹/₆ = 0.1(6)
• ¹/₇ = 0.(142857)
• ¹/₈ = 0.125
• ¹/₉ = 0.(1)
• ¹/₁₀ = 0.1

其中，0.1(6)即表示0.166666...，并且它的循环部分只有一个数。由上还能知道¹/₇的循环部分有6个数。

请找出在1000以内的正整数d，¹/_d的循环部分最长。

Euler公佈了一个著名的公式：

n² + n + 41

当n = 0 ~ 39时它可以得到40个质数，不过当n = 40时，40² + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41可以被41整除，故当n = 41时得到的不是质数。

通过计算机分析，一个更不可思议的公式诞生了。n² - 79n + 1601能产生80个质数若n = 0 ~ 79。两个系数-79和1601的积是-126479。

现在来看看下面的公式：

n² + an + b且|a| < 1000, |b| < 1000

|n|表示n的绝对值，如|11| = 11|，|-4| = 4。

找出合适的系数a和b，使得当n从0开始递增时，得到最多的连续的质数项，并把a和b的积求出来。

由1开始，按顺时针方顺延伸得到如下5 × 5的螺旋数列：

21 22 23 24 25

20  7  8  9 10

19  6  1  2 11

18  5  4  3 12

17 16 15 14 13

可以算出对角线上所有数字的和为101。

那么用如上构造方法的1001 × 1001的螺旋数列的对角线上的所有数字的和是……？

若2 ≤ a ≤ 5且2 ≤ b ≤ 5，那么a^b的所有组合有：

• 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32
• 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243
• 4²=16, 4³=64, 4⁴=256, 4⁵=1024
• 5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125

将以上数字不重复地从小到大排列，我们得到一个含15项的数列：

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

由a^b（2 ≤ a ≤ 100且2 ≤ b ≤ 100）产生的如上数列的所有不同的项共有多少个？

有件令人惊奇的事，只有三个四位的正整数等于它们的每位数的4次方的和：

1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴

8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴

9474 = 9⁴ + 4⁴ + 7⁴ + 4⁴

这些数字的和是1634 + 8208 + 9474 = 19316。

你能找出所有能表示成其每位数的5次方的和的所有5位数的和么？

英国的货币单位有英磅（£）和便士（p），流通的货币面值有如下八种：

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p), £2 (200p)

可以这么来凑够两英磅（£2）：

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p

请问总共能用多少种方式来凑够两英磅呢？

若一个n位数包含了数字1到n且各仅一次话，就称之为「泛位数的」。例如，5位数15234是一个包含1到5各一次，是泛位数的。

7254是一个不同寻常的积，因为39 × 186 = 7254，其中，被乘数丶乘数和积，是泛位数的，包含了数字1到9。

请找出像上面的7254那样能表示成泛位数的乘积等式的所有积的和。

提示：有些数字能表示成多种乘积的形式，小心不要重复累加。

⁴⁹/₉₈是个古怪的分数，因为粗心的学生在约分时往往会直接通过去掉数字9得到⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈，不过这结果的确是对的。

把像³⁰/₅₀ = ³/₅这样末尾带0的当作是正常的例子吧。

在简化小于1且分子和分母都是两位数的分数时，恰有4个这样不正常的例子。

请求出这四个分数的积的最简化形式的分母。

145是个奇怪的数字，因为1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145。

请求出能表示成其每位数的阶乘的和的所有数的和。

请注意：由于1! = 1和2! = 2不是和，故它们并不包括在内。

197这个数被称作是环质数，因为1 9 7的三个轮转排列出的数字197, 971, 719都是质数。

100以内总共有13个环质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97。

你知道100,0000以内共有多少个环质数吗？

十进制数585=1001001001₂在十进制和二进制下都是回文数。

请找出所有小于100,0000的在二进制下也是回文数的十进制数的和。

（两位数及以上的以0结尾的数都不是回文数）

数字3797有个奇异的性质，它本身是一个质数，从左到右依次将它的每位数去掉都可以得到一个质数：3797, 797, 97, 7。类似地，从右到左逐个去除每位数，也能得到质数：3797, 379, 37, 3。

像这样的质数总共有11个，请把它们的和求出来。

请注意：2, 3, 5, 7并不包括在内。

将192分别与1, 2, 3相乘：

192 × 1 = 192

192 × 2 = 384

192 × 3 = 576

将各个积连接起来，我们得到一个1到9的泛位数192384576，我们称192384576是192和(1, 2, 3)的「积连接」。

同样地，还可以将9分别与1, 2, 3, 4, 5相乘，得到的积连接是一个1到9的泛位数918273645。

请求出1到9的最大泛位数，并且它是某个整数与(1, 2, ... , n)的积连接（n > 1）。

假设p是某个具有整数边长{a, b, c}的直角三角形的周长，若p = 120，则三边长有三种解：

{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}

请求出p ≤ 1000时，使解的数目最多时p的值。

我们可以通过连接相邻的正整数来构造一个不循环小数：

0.123456789101112131415161718192021...

如上，小数部分的第12位数字是1。

若以d_n来表示小数部分的第n位数字的话，那么以下算式的结果是多少呢？

d₁ × d₁₀ × d₁₀₀ × d₁₀₀₀ × d₁₀₀₀₀ × d₁₀₀₀₀₀ × d_1000000

若一个n位数包含数字1到n且各仅一次，那么就称之为1到n的「泛位数」。例如，2143既是一个1到4的泛位数，又是一个质数。

是质数的最大泛位数是多少呢？

三角数列的第n项是由t_n = ½n(n+1)得到的，它的前十项是：

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

我们把单词中的每个字母和它在字母表中的顺序号一一对应，并把相应的序号相加，就得到了该单词的词彙值。例如，SKY的词彙值是19 + 11 + 25 = 55 = t₁₀。若一个单词的词彙值是三角数的话，就称之为三角单词。

下载words.txt，该文本文档包含近2000个常用英语单词，请统计其中三角单词的数目。

1406357289是一个0到9的泛位数，因为它是由0~9这10个数字按照一定顺序组合而成的。它的子串（其中某些连续数字）有一些奇怪的特性。

令d₁为第1位数，d₂为第2位数，如此等等。这样，可以看到：

• d₂d₃d₄=406能被2整除
• d₃d₄d₅=063能被3整除
• d₄d₅d₆=635能被5整除
• d₅d₆d₇=357能被7整除
• d₆d₇d₈=572能被11整除
• d₇d₈d₉=728能被13整除
• d₈d₉d₁₀=289能被17整除

请求出具有上述特性的所有0到9的泛位数的和。

五边形数可由这个函数产生：P_n=n(3n-1)/2。前十个五边形数是：

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

可见，P₄ + P₇ = 22 + 70 = 92 = P₈。不过，它们的差70 - 22 = 48，不是五边形数。

你能否找出两个五边形数，它们的和或差都是五边形数呢？若可以的话，那D = |P_k - P_j|的最小值是多少呢？

三角形数，五边形数，六边形数分别由如下公式生成：

• Triangle T_n=n(n+1)/2 1, 3, 6, 10, 15, ...
• Pentagonal P_n=n(3n-1)/2 1, 5, 12, 22, 35, ...
• Hexagonal H_n=n(2n-1) 1, 6, 15, 28, 45, ...

请找出第二个既是五边形数，又是六边形数的三角形数。已知T₂₈₅ = P₁₆₅ = H₁₄₃ = 40755。

著名的数学家哥德巴赫（Christian Goldbach）曾经提出过一个猜想：每个奇合数都能被表示成一个奇数和某个平方数的两倍的和。例如：

• 9 = 7 + 2×1²
• 15 = 7 + 2×2²
• 21 = 3 + 2×3²
• 25 = 7 + 2×3²
• 27 = 19 + 2×2²
• 33 = 31 + 2×1²

而事实证明这个猜想是错误的。

那么不能用上述形式表达的最小奇合数是多少呢？

第一对各自具有两个不同质因数，并且是相邻整数的数是：

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5

首次出现的各自具有三个不同质因数的三个相邻整数是：

644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19

你能否找出首批各自具有四个不同质因数的四个相邻整数呢？请指出其中最小的那个数是什么。

已知1¹ + 2² + 3³ + ... + 10¹⁰ = 10405071317，

请求出1¹ + 2² + 3³ + ... + 1000¹⁰⁰⁰的结果的后10位数。

看这么一个数列：1487, 4817, 8147，其后每一项都是由前一项加上3330得到的。这个数列还有两项特徵：

1. 每一项都是质数
2. 每一项都是另一项各位数的置换

已知没有任何1位丶2位或3位数能构造出这样的数列，不过还有另外一个如上的4位数递增数列。请找出这个数列，并把那3个数连接成一个12位的数字。

质数41能被表示成6个连续质数的和：

这是在100以下能用最多的连续质数的和表示的质数。

1000以下能表示成最多的连续质数和的质数是953，它能表示成21个连续质数的和。

那100,0000以下能表示成最多连续质数和的质数是……？

通过改变两位数*3的第一位数，可以得到这些质数：13, 23, 43, 53, 73, 83。

把56**3的第三和第四位数用同样的数字替换，得到的10个数字中有7个是质数，这也是第一组具有这个性质的一类数字，这7个质数分别是：56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, 56993，故56003是具有如此性质的最小质数。

你能找出这么一个最小质数，将其某几位数用相同的数字替换，包括它自身，能得到8个质数吗？

让我们看看125874和它的两倍251748，它们的各位数的组成都是相同的，只是位置不一样。

请找出一个最小的正整数x，并且2x, 3x, 4x, 5x, 6x都由同样的数字组成。

从5个数字中选出3个，总共有10种方式：

123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345

在组合数学中，我们将之表示为⁵C₃ = 10。

直到n = 23之前，组合数不会超过一百万：²³C₁₀ = 1144066。

问：当1 ≤ n ≤ 100时，有多少个组合数ⁿC_r大于100,0000？

扑克游戏中，由五张扑克组成的牌组有着不同的等级，从低到高及其特徵分别是：

• 散牌（High Card）：看最大面值的牌。
• 一对（One Pair）：有一对相同面值的牌。
• 两对（Two Pairs）：有两种不同面值的对子。
• 三条（Three of a Kind）：有三张牌面值一样。
• 顺子（Straight）：有不同的连续五个面值。
• 同花（Flush）：花色都一样。
• 葫芦（Full House）：分别有三张面值一样的，另加不同面值的一对。
• 四条（Four of a Kind）：有四张相同面值的牌。
• 同花顺（Straight Flush）：有花色一样的五个不同的连续面值。
• 同花大顺/一条龙（Royal Flush）：有相同花色的10，Jack（骑士），Queen（皇后），King（国王），Ace（黑桃1）。

面值大小的升序排列为：

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack, Queen, King, Ace.

假如两位玩家都有同类的一手牌，那么相应面值最大者为赢家（如下表，有一对5的比有一对的8小）；若相应面值相等，则根据剩下的牌中最大面值来判别输赢（如下表第4行）；若剩下的最大面值也一样，则比较次大的面值，如此类推。

以下为参考样例：

在文本文档poker.txt中含有1000个回合里两位玩家的牌组，每行有10张牌，前5张是玩家1的，后5张是玩家2的。里面没有不合规则的牌组（故不用检查花色和牌数），但是每张牌都是随意排列的，且没有平局的情况。

请问玩家1赢了多少局？

取质数47，将它逆序相加后，得到47 + 74 = 121，是一个回文数。

并不是取一个质数就能轻易得到回文数的，例如：

349 + 943 = 1292

1292 + 2921 = 4213

4213 + 3124 = 7337

即是说，349要经过3次处理才能得到一个回文数。

虽然还没得到确切证实，但人们认为有些数字，像196，永远都无法通过有限次逆序相加得到一个回文数，这样的数被称为Lychrel数。我们要说明一个数是Lychrel当然就得经过证明。给你1000以下的任何自然数，要么（1）在经过50次及以下的逆序相加后得到一个回文数，要么（2）没有人能不断计算下去得到一个回文数。事实证明，10677是首个发现要经过超过50次逆序相加后才能得到回文数的数字，得到了4668731596684224866951378664（53次逆序相加，28位数）。

令人惊讶的是，有些回文数也是Lychrel数，4994就是那样的数。

问：10000以下的Lychrel数有多少个？

googol数（10¹⁰⁰）是一个天文数字：在1的后面接一百个0。100¹⁰⁰是个更加难以想像的数字：1的后面接两百个0。不管它们多大，它们各个位上的数字的和都是1。

想想这样的数字，a^b，其中a, b < 100，各位数的和最大能是多少？

根号2可以表达成如下无限迭代分数和形式：

√2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ... ))) = 1.414213...

展开头四个迭代，可得：

1 + 1/2 = 3/2 = 1.5

1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5 = 1.4

1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)) = 17/12 = 1.41666...

1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) = 41/29 = 1.41379...

再接着的三个迭代的值分别是99/70, 239/169, 577/408，而第8次迭代后的值是1393/985，是首个分子的位数超过分母的位数的迭代。

在前1000次迭代的值中，有多少个值的分子比分母位数多？

由1开始，按逆时针方顺延伸得到如下7 × 7的螺旋数列：

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

有趣的是，其中主对角线的右下部分上的数都是奇平方数。另外，两对角线上质数所占的比例是8/13 ≈ 62%。

如果在上面的数列再延长一圈的话，那么就会得到9 × 9的新数阵。那么，继续延长数列到多少圈，会使两对角线上的质数占对角线数字总个数的百分比小于10%呢？

电脑中的每一个字符都相应着一个特定值，而这个特定值是根据ASCII（美国信息标准交换码）制定的。比如，大写字母A = 65，星号* = 42，小写字母k = 107。

有一个现代的加密方法是，取得一个文本文档，将其内容全都转换成ASCII码，然后用一些固定的特定值（密钥）对每一个ASCII码轮流进行「异或（XOR）」运算，得到密文。用「异或」运算的一个好处是，只要用同样的密钥对每一个加密后的数值再一次按原来的顺序轮流进行异或运算，就能得到原来的ASCII码。看，65 XOR 42 = 107，107 XOR 42 = 65。

想把信息加密得更为牢固的话，可以使密钥的长度和原文一样，密钥的每一个值都是随机取得的，加密者需要将此密钥记录下来以备下次解密之用，否则单靠密文是无法解密的。

可惜的是，这个方法对于多数人来说太不实际了，谁想记住或手动输入这么一大串密钥呢？于是我们得採用比明文（未经加密的信息）短得多的密钥来加密信息。由于密钥变短了，故要循环地利用这个密钥来对每一段与密钥长度相等的个数的ASCII码进行异或运算。密钥不应太短也不应太长，不过只要能轻鬆记住就行了。

这一次，你的任务很简单，文本文档cipher1.txt中的密文（一堆经过加密的ASCII码）是用3个小写字母组成的密钥加密的。明文是一些英语单词，请你将解密后的所有ASCII码的和提交上来。

3, 7, 109, 673是很奇特的一群质数，在其中任取两个任意顺序相连还是能得到一个质数。例如，取7和109相连会有7109和1097两个新的质数。这四个质数的和，792，是具有这种性质的由4个质数组成的集合的最小数值总和。

请找出具由5个质数组成的有如上特殊性质的质数群的数值总和的最小值。

三角形数丶正方形数丶五边形数丶六边形数丶七边形数丶八边形数，都是多边形数，它们都可由以下公式生成：

有一个由三个四位数构成的数列具有三个有趣的属性：8128, 2882, 8281。

1. 这是个循环数列，每个数字的后两位数都是下一个数字的前两位数。
2. 每个数的种类都不同：三角形数(P_3,127=8128)，正方形数(P_4,91=8281)，五边形数(P_5,44=2882)，且各自的编号都不同（127, 91, 44）。
3. 这是唯一具有以上性质的四位数序列。

现已知有唯一的一个具有如上性质的由六个4位数组成的数列，且数字的种类分别是：三角形数丶正方形数丶五边形数丶六边形数丶七边形数丶八边形数，且编号不同。

立方数41063625 (345³)的每位数经过置换后可以得到另外两个立方数56623104 (384³)和66430125 (405³)。其实，41063625是符合每位数置换后能得到另外两个立方数的最小正整数。

请找出其每位置换后还能得到另外4个立方数的最小立方数。

5位数16807=7⁵是一个5次幂，同样地，9位数134217728=8⁹是一个9次幂。

总共有多少个同时是n次幂的n位正整数呢？

所有正整数的无理数平方根都可以用如下无穷小数的和的形式表示：

例如，对于√23有：

若继续将其展开，就会得到：

该展开过程有如下的规律：

可见，这个数列可以循环生成。为了更好地表示每一项，我们把√23的展开式的第4层展开表示成[4;(1,3,1,8)]，说明(1,3,1,8)是继续展开后循环出现的部分。

头10个整数的无理数平方根如下：

1. √2=[1;(2)],週期=1
2. √3=[1;(1,2)],週期=2
3. √5=[2;(4)],週期=1
4. √6=[2;(2,4)],週期=2
5. √7=[2;(1,1,1,4)],週期=4
6. √8=[2;(1,4)],週期=2
7. √10=[3;(6)],週期=1
8. √11=[3;(3,6)],週期=2
9. √12= [3;(2,6)],週期=2
10. √13=[3;(1,1,1,1,6)],週期=5

说明在小于13的正整数中，只有4个正整数的无理平方根的展开式循环部分週期是1。

在不大于1,0000的正整数中，有多少个正整数的无理平方根的展开式循环部分週期是1？

√2可用无穷个分数的和表示：

我们可将上面的式子简单地写作：√2 = [1;(2)]，(2)即表示2要重复出现无数次。又例如说，√23 = [4;(1,3,1,8)]。

这些分数相加的次数越多，其值就越接近要求的数的平方根。现在来看看√2最终会接近（收敛）于怎样的数值吧：

因此头10个接近于√2的数值是：

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ...

不过数学上有一个著名的常数让人感到无比惊奇：

e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...]

头10个接近于e的数有：

2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536, ...

其中第10个数的分子的每位数之和为1+4+5+7=17。

请你找出如上第100个接近e的分数的分子的每位数之和。

看以下的丢番图（Diophantine）方程：

x² - Dy² = 1

当D=13时，这个方程的未知数x具有最小值的解为649² - 13×180² = 1。

可以肯定的是，当D是平方数时该方程无正整数解。

通过求当D = {2, 3, 5, 6, 7}时未知数x具有最小值的解，可得到：

• 3² - 2×2² = 1
• 2² - 3×1² = 1
• 9² - 5×4² = 1
• 5² - 6×2² = 1
• 8² - 7×3² = 1

因此，当D ≤ 7时，上面要求的未知数x的最大值为9，此时D=5。

若D ≤ 1000，在使未知数x的值最小的解中，当D为多少时，x的值最大？

从以下的三角形宝塔的最顶点的数开始，一直往下一层的相邻的数移动，所经过的所有数字的和的最大值是23。

3

7 4

2 4 6

8 5 9 3

亦即3 + 7 + 4 + 9 = 23，暂且称之为最大的「宝塔数」吧。

请找出这个文档triangle.txt中的宝塔中的最大宝塔数。是不是和18题一样呢？不过这个宝塔有100层！

请注意：这道题比Problem 18难多了，你不可能把所有的路径都走光的，因为它总共包含着2⁹⁹条路径！即使你每秒能处理10¹²条路径，也要花100亿年才能处理得完。不过有个高效的算法来解决它，嘿嘿。

观察如下奇特的三角环，令六个圆分别被1~6的数字填充，使得每一直线上相连的三个数的和都是9。

按顺时针方向可将上图中的填充的数字按从外到内的顺序记录下来，则每种填充方式都会有唯一的描述。例如上面的填充方案可表示为4,3,2; 6,2,1; 5,1,3。

总共有8种理想的填充方案，每一直线上相连的数字总和可以是9, 10, 11或12。

将三组数字连接可得到一个9位数，其中的最大值为432621513。

用1~10十个数字来填充下面的五角环，使得每一直线上相连的数的总和相等，可以有多种解决方案，其中有一些方案的描述可连接成16或17位数，那能连接成的16位数的最大值是……？

欧拉函数φ(n)（有时被称作φ函数）能给既出小于n又与n互质的自然数的个数。如，1, 2, 4, 5, 7, 8都是小于9，但与9互质的数，故φ(9) = 6。

由上可知在n不大于10的情况下，当n=6时，n/φ(n)达到最小值。

若n ≤ 100,0000，n/φ(n)达到最大值时n的值是多少？

欧拉函数φ(n)（有时被称作φ函数）能给既出小于n又与n互质的自然数的个数。如，1, 2, 4, 5, 7, 8都是小于9，但与9互质的数，故φ(9)=6。

1被认为和任意正整数互质，故φ(1)=1。

有趣的是，φ(87109)=79180，其中，87109是79180每位数的一个置换。

假设1 < n < 10⁷，φ(n)是n的每位数的一个置换，请求出令分数n/φ(n)的值最小的n。

假定有分数n/d，n和d都是正整数。若n<d且GCD(n,d)=1，那么就称它为最简真分数。

分母d不大于8的最简真分数按大小升序排列如下：

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

可见紧接着3/7的是2/5。

请你按大小升序列出分母d不大于100,0000的所有最简真分数，并找出紧接着3/7的那个数。

假定有分数n/d，n和d都是正整数。若n<d且GCD(n,d)=1，那么就称它为最简真分数。

分母d不大于8的最简真分数按大小升序排列如下：

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

其中总共有21项。

那么分母d不超过100,0000的最简真分数有多少个呢？

假定有分数n/d，n和d都是正整数。若n<d且GCD(n,d)=1，那么就称它为最简真分数。

分母d不大于8的最简真分数按大小升序排列如下：

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

可见，1/3和1/2之间有三个分数。

请你按大小升序列出分母d不大于1,2000时的最简真分数，问其中1/3和1/2之间有多少个分数。

145这个数字也有一个奇妙的特徵，它的每位数的阶乘的和又是145：

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

通过这个方式，我们可以发现一个更不为人知的数字169，它产生了最长的最终回到自身的数列。像这样的数列却只有三个：

• 169 → 363601 → 1454 → 169
• 871 → 45361 → 871
• 872 → 45362 → 872

不难证明，每个如上构造的数列最终都不免陷入某种循环。例如：

• 69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601 (→ 1454)
• 78 → 45360 → 871 → 45361 (→ 871)
• 540 → 145 (→ 145)

从69开始可最终得到一个5项的不重复数列，而在100,0000以下的最长不重复数列有60项！

请问由100,0000以下的正整数开始构造的这种不重复数列中，有多少个是含60项的？

12是能围成一个整数边长的直角三角形的最小长度，能围成整数边长的直角三角形的长度还有很多：

• 12 : (3,4,5)
• 24 : (6,8,10)
• 30 : (5,12,13)
• 36 : (9,12,15)
• 40 : (8,15,17)
• 48 : (12,16,20)

相反地，像20就不可能是整数边长的直角三角形的周长。而有一些长度就不止是围成一种直角三角形了，例如120的长度能围成三种不同的直角三角形。

120 : (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)

给定整数长度L，当L ≤ 150,0000时总共能围成多少种直角三角形呢？

5可以用6种正整数的和的形式表达：

• 4 + 1
• 3 + 2
• 3 + 1 + 1
• 2 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1

问100能用多少种正整数的和的形式表达？

若把10写成质数的和，可有以下5种方式：

• 7 + 3
• 5 + 5
• 5 + 3 + 2
• 3 + 3 + 2 + 2
• 2 + 2 + 2 + 2 + 2

若从小到大研究的话，第一个能用超过5000种方式的质数和表示的自然数是……？

设p(n)是把n个硬币分成几堆的方式的总数。如，5个硬币有7种划分方式，故p(5)=7。

请找出p(n)能被100,0000整除的最小的n。

网上银行业务的一个常用安全措施是让用户输入某些随机验证码中的某三个字符。例如，验证码是531278，用户被要求输入其中第2丶3丶5个数字，正确输入是317。

这个文本文档，keylog.txt，含有对于同一个验证码的50个成功通过验证的输入。

这些要求的输入的字符都是按顺序给出的，请分析这个文件，并给出最可能短的验证码。

我们都知道，若一个自然数的平方根不是自然数的话，那这个平方根就是一个无理数。无理数的小数部分在十进制下可无限展开却没有循环部分。

2的平方根是1.41421356237309504880...，且它的小数部分的前100位数字的和为475。

请求出前100个自然数（从0或1开始都没关係，因为100 = 10²）的所有无理平方根的小数部分前100位数字的和的总和。

在如下5阶方阵中，从左上角向右或向下移动到右下角使得经过的数字的和最小的路径（和为2427）已用红色标记。

在文本文档matrix.txt中有一个80×80的方阵，请你求出以如上方式移动所经过的路径的最小和。

提醒：这是Problem 81的升级版。

在如下5阶方阵中，从最左边任一格子向上丶向下或向右移动到最右边任一格子使得经过的数字的和最小的路径（和为994）已用红色标记。

在文本文档matrix2.txt中有一个80×80的方阵，请你求出以如上方式移动所经过的路径的最小和。

提醒：这题和Problem 81类似，不过更有意思。

在如下5阶方阵中，从左上角的格子向上丶下丶左丶右四个方向移动到右下角的格子，其间经过的数字（红）的总和为2297。这是能使经过的数字的和最小的路径了。

在这个文本文档matrix3.txt中，有一个80阶的方阵，请找出用如上移动方式得到的最佳路径上所有数字的和。

现在你看到的是一个大富翁游戏（Monopoly）的一种标准棋盘：

玩家从标有GO的格子上开始顺时针移动，并且通过投掷的两个六面骰的面值总和决定移动格子数。若没有任别的规则，那么玩家移动到每个格子上的机率都是2.5%。不过，移动到G2J (Go To Jail，坐牢), CC (community chest，社区福利基金)和CH (chance，赌运气)这些格子上时就会改变这个机率。

除了G2J和来自CC或CH的一张卡片以外，还有别的方式能让玩家去坐牢。若玩家连续投到三次偶数，那么玩家第三次移动则被取消，直接被送到牢狱里去。

游戏一开始时，CC和CH中的卡片都要重新洗牌。当玩家移动到CC或CH上时，他们要从相应的牌堆最顶端拿一张卡片，当完成卡片上的指示后，就把卡片放回相应卡堆的最底下。每个卡堆都有16张卡片，不过由于我们这次的题目的原因，我们只考虑对玩家移动产生影响的卡片，其馀无关的卡片的指示都会被无视，改为让玩家平安地停留在CC或CH格子上。

CC (2/16卡片):

1. 回到起点
2. 去坐牢

CH (10/16卡片):

1. 回到起点Advance to GO
2. 去坐牢Go to JAIL
3. 去到C1
4. 去到E3
5. 去到H2
6. 去到R1
7. 去到下一个R (火车站)
8. 去到下一个R
9. 去到下一个U (公交站)
10. 后退3格

这道题的重点是看到达每个格子的机率是多少，即每次掷骰后能到达特定格子的机率。因此，请注意，每轮掷骰后最终停留的那个格子才是我们要求的到达的格子，故到达G2J的机率必定是0，到达CH的机率最低（因为5/8的卡片都要求再移动）。直接或通过卡片移动到监狱（JAIL）都被看作是一样的，而且不要求抛到偶数才能走出监狱。

从GO开始将格子编号为00到39，我们就能将这些两位数相连得到一个数字来有序地代表一些格子。

经过统计，最常到达的三个格子按顺序分别是：JAIL (6.24%)即10号格子, E3 (3.18%)即24号格子, GO (3.09%)即00号格子。因此可用一个六位数表示：102400。

若不用六面骰（1-6），改用四面骰（1-4），那么最终得到的六位数是……？

在方形的网格上，数数就知道一个3×2的矩形含有18个正方形：

虽然不存在恰好含200,0000个正方形的矩形，不过请你求出所含正方形个数最接近这个数值的矩形的面积。

某蜘蛛S在一长方体的一角上，这个长方体的长宽高分别是6、5、3，在长方体的对角上还有一只苍蝇F。从S至F的最智短「直线」距离是10，路径如图所示：

然而，实际上对于任何长方体，像这样的「最短」路径往往可以达到3种，并且最短路径的长不一定是整数。

假设长方体的长宽高的值都是整数且最大不超过整数M，那么当M=100时就有2060种长方体的如上「最短路径」的长是整数，而这个M的值也是使这种长方体的种数超过2000的最小值。当M=99时这样的长方体有1975种。

请找到最小的M，使得这样的长方体种数超过100,0000。

能表示成一个质数的平方加一个质数的立方再加一个质数的四次方的和的最小整数是28。实际上，在50以下只有4个整数能表示成这种形式。

• 28 = 2² + 2³ + 2⁴
• 33 = 3² + 2³ + 2⁴
• 49 = 5² + 2³ + 2⁴
• 47 = 2² + 3³ + 2⁴

在5000,0000以下共有多少个整数能用如上形式表示出来呢？

若自然数N能表示成某个元素不少于两个的自然数的有限集合{a₁, a₂, ... , a_k}的元素的「和」与「积」的话，就称这个数为「和·积数」：N = a₁ + a₂ + ... + a_k = a₁ × a₂ × ... × a_k 。

例如，6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3。

给定有限自然数集合的元素个数为k，则符合这个性质的最小的和·积数在k = 2, 3, 4, 5, 6时分别是：

• k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2
• k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3
• k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4
• k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
• k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6

故若2≤k≤6，则所有最小和·积数的和为4+6+8+12 = 30，注意，8只被计算了一次。

已知，当2≤k≤12时，所有最小和·积数为{4, 6, 8, 12, 15, 16}，和是61。

那么当2≤k≤12000时的所有最小和·积数的和是……？

罗马记数法为同一个数字提供了许多种记录的方式，然而对于任一个数总是会有「最佳的」记数方式。

举个例子吧，下面都是数字16的罗马记数法：

• IIIIIIIIIIIIIIII
• VIIIIIIIIIII
• VVIIIIII
• XIIIIII
• VVVI
• XVI

上面最下的那个被认为是最佳的记录方式，因为它使用了最少的罗马数字。

这个文本文档roman.txt，内含一千个正确有效的罗马数字，但不保证是用最合适的方法表示的，它们以降序排列（由长到短），并且遵循罗马数字表示规则（如，I只能在V或X前面）。

请问若把每个数字都改写成最佳形式，会节省多少个罗马数字呢？

提示：你可以认为其中不包含超过4个相同的罗马数字。

下面各个骰子的每一面都有不同的点数（0至9），将两个骰子并排，就能构造成一系列的两位数。

如，可能得到平方数64：

事实上，只要仔细地设定骰子每一面的点数，就能构造出100以下的所有平方数：01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, 81。

有一种方法就是，一个骰子各面的点数是{0, 5, 6, 7, 8, 9}，另一个骰子的则是{1, 2, 3, 4, 8, 9}。

然而，在这次的问题中，我们允许6和9上下倒转，因此骰子点数的另一种分佈{0, 5, 6, 7, 8, 9}和{1, 2, 3, 4, 6, 7}也可以构造出那9个平方数；否则，不可能构造出09。

我们只关注骰子点数的不同，而不考虑点数的位置：

{1, 2, 3, 4, 5, 6}等同{3, 6, 4, 1, 2, 5}
{1, 2, 3, 4, 5, 6}异于{1, 2, 3, 4, 5, 9}

由于我们允许6和9上下倒转，那两个相异的骰子在构造两位数时都能表示出{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}这些数字。

问：为了构造出100以下的所有平方数，这一对骰子总共有多少种点数分佈方案？

在下面的整数座标系中，有点P(x₁, y₁)和点Q(x₂, y₂)，它们与原点O(0,0)构成了一个三角形OPQ。

若在每条轴上只能取0－2之间的值，则只能构成14种含有直角的三角形OPQ：

若能在每条轴上取值的范围为0－50，则能构成多少种直角三角形OPQ？

以下数列的构造方法是：前一项的每位数的平方和就是下一项，直到下一项在之前的项中出现过就完成了数列的构造。

44 → 32 → 13 → 10 → 1 → 1
85 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89

显然，上面两个数列假如再用1或89构造下一项的话就会出现循环。然而还有一个令人诧异的事实，就是不管起始项是哪个整数，数列都会以1或89结束。

有多少个以1000,0000以下的正整数为起始项的列数会以89结束呢？

使用集合{1, 2, 3, 4}中每个数字一次，配合四则运算(+, -, *, /)还有括号，可以运算出不同的正整数结果：

• 8 = (4 * (1 + 3)) / 2
• 14 = 4 * (3 + 1 / 2)
• 19 = 4 * (2 + 3) - 1
• 36 = 3 * 4 * (2 + 1)

要注意的是，不能把数字连起来，像12 + 34是不允许的。

使用集合{1, 2, 3, 4}并通过四则运算，可算出31种正整数结果，其中36是最大的，并且1至28都不是首个不能算出的数字（意即29是第一个算不出的）。

请找到这么四个一位数，a < b < c < d，通过四则运算可算得的连续的正整数1到n的数目最多，然后把这四个数组成一串数字abcd。

我们可以很容易证明，等边三角形不可能既有整数边长又有整数面积。然而，近等边三角形5-5-6的面积是12个单位（直角座标系）。

现定义，近等边三角形为有两边相等，而第三边的长度与另外两边的长相差1。

请求出所有周长不超过10,0000,0000且边长和麵积皆为整数的近等边三角形的边长的和。

一个整数的真因数就是除它自身以外的所有因数。如，28的真因数是1, 2, 4, 7, 14，由于它的所有真因数之和为28，因此称28为「完全数」。

有趣的是，220的真因数之和为284，而284的真因数之和为220，我们可称这两个数互为「亲和数」。

不过除此之外还有一个鲜为人知的数列。若是从12496开始，通过前一项的真因数之和构造后一项，可以得到以下含有5项的循环数列：

12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 (→ 12496 → ...)

这样的循环数列就是「亲和数列」。

请找到这么一个亲和数列，它的每一项都不超过100,0000，并且项数最多。问：这个数列的最小项是……？

数独（SuDoku，日语即「摆放数字」的意思）是一个有趣的益智项目。虽然不知它源自何处，不过我们不得不讚歎欧拉（Leonhard Euler），因为他曾发明过一个类似的更有难度的迷题——拉丁方阵（Latin Squares）。而原来的数独游戏是这样的：分别用1~9九个数字不重复地将9×9的大方阵中3×3的小方阵中的空格或零替代，并使大方阵的每一行和每一列上的数字都不重复。如下是一个典型的初始方阵，及最终的解决方案：

一个精心构造的数独方阵只会有一个解法，而且能通过逻辑来解决，或许要进行一些假设来确定一下摆放的位置（关于这个有多种的观点）。推理的複杂性体现了游戏的难度，上面这个例子就被认为是「简单」的，因为人们能通过直接的推论来解决它。

这个文本文档sudoku.txt里包含了50个不同难度的数独方阵，且每个都只有唯一的解。

这次的挑战是：解出这50个数独方阵，并将所有方阵的左上角三个数字组成的三位数的和求出来。如，上面给出的方阵的左上角三个数字组成的三位数是483。

第一个超过一百万位的质数是人们在1999年发现的，它被称作梅森质数，因为它具有如此的形式：2^6972593-1。确切地说，它有209,8960位数。后来人们发现了更多的含更多位数的梅森质数，它们都能表示为2^p-1。

然而，在2004年，人们又发现了一个巨大的非梅森质数28433×2^7830457+1，它有235,7207位数。

请找出这个质数的最后10位数。

将单词CARE的每个字母分别用1, 2, 9, 6来替换，可得到一个平方数：1296 = 36²。奇特的是，用同样的方式来替换，CARE的变形词RACE也能变成一个平方数：9216 = 96²。于是称CARE和RACE是一对平方数变换词。另外请注意，不允许有前导的0，各种字母替换成的数字也不能相同。

在文本文档words.txt里有将近2000个常见英语单词，请找出所有的平方数变换词对，看其中最大的平方数是多少。（回文词不能算是自身的变形词，如「A」）

请注意：所有变形词必须被包含有那个文档中。

比较两个指数形式的数如2¹¹和3⁷是没有难度的，因为随便一个计算器都会告诉你2¹¹ = 2048 < 3⁷ = 2187。

但是偏偏有一些数字的比较让一般的计算器也难以判断，如632382⁵¹⁸⁰⁶¹ > 519432⁵²⁵⁸⁰⁶，这两个数都超过了300万位。

在文本文档base_exp.txt中含有一千行数字，每行有一个底数和一个指数，代表一个数的指数形式，请判断哪一行的数字最大。

某箱子里有21个彩色圆盘，其中15个是蓝色的，6个是红色的。若随机抽取两个圆盘，那么取到两个蓝色圆盘的概率是(15/21)×(14/20) = 1/2。

另外还有一个箱子，随机取得两个蓝色圆盘的概率也是50%，箱子中的圆盘有85个是蓝色的，有35个是红色的。

请你找到第一个内含超过10¹² = 1,000,000,000,000个圆盘的箱子，随机取到两个蓝色圆盘的概率也是50%，请问这个箱子中有多少个蓝色圆盘？

若只提供某个数列的前k项，我们是无法断定下一项是什么的，因为能生成那样开头的数列的多项式公式能有无穷种。

举个例子吧，看看立方数的序列，它们是由以下方程生成的：

u_n = n³: 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...

假如我们只知道这个数列的头两项，根据「简单原则」，我们很可能会先假设各项之间具有线性关係，并且下一项是15（等差数列，差是7）。就算还知道了第三项，按照简单原则，我们还是很可能会弄出二次方程关係来（译注：设a_n = an²+bn+c，下面的多项式优化类同，就是求解a, b, c, ...等系数，得到多项式公式）。

假设OP(k, n)是最优化后的多项式公式生成的立方数数列的第n项，必须保证的是，OP(k, n)对于n ≤ k是有效的。往往，第一个不符项（first incorrect term, FIT）就是OP(k, k+1)，这时我们称这个公式为不良优化公式（bad OP, BOP）。

先从最简单的开始，若只知道数列的第一项，那么最简单的方式就是假设数列都是常数项，即，当n ≥ 2时，OP(1, n) = u_1。

于是通过简单原则，我们最终得到立方数数列的最优化多项式生成公式OP：

显然，对于k ≥ 4，BOP不存在（译注：有n³了，还用得着更高次方吗？）。

由上可知，所有BOP（已用红色标记）的FIT的和为1 + 15 + 58 = 74。

请考虑以下数列，公式已经出，请找到优化过程中所有BOP的FIT和。

u_n = 1 - n + n² - n³ + n⁴ - n⁵ + n⁶ - n⁷ + n⁸ - n⁹ + n¹⁰

在平面上随机取3个点，其座标的取范围都是-1000 ≤ x, y ≤ 1000，以这三点为顶点构造三角形。

看看以两个三角形（顶点）：

A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)

其中，只有三角形ABC内含有原点。

在文本文档triangles.txt中含有1000个随机三角形（的三个顶点座标），请检测出其中有多少个三角形含有原点(0, 0)。

让我们用S(A)来表示某元素个数为n的集合A中数字的总和。某集合的任意两个不相交的非空子集B和C若符合以下两个条件，则称它为「异和集」：

1. S(B) ≠ S(C)
2. 若B的元素比C的多，则S(B) > S(C)

若S(A)相关的n值达到最小，则称A为最优异和集。以S(A)为参照，头5个最优异和集如下：

1. n = 1: {1}
2. n = 2: {1, 2}
3. n = 3: {2, 3, 4}
4. n = 4: {3, 5, 6, 7}
5. n = 5: {6, 9, 11, 12, 13}

我们可以发现，似乎某个最优集合A = {a₁, a₂, ... , a_n}的下一个最优集合是这样的：B = {b, a₁+b, a₂+b, ... ,a_n+b}，其中，b是前一个集合的靠近中间的元素。

通过运用这个假设的规则，我们可推测n = 6时的最优异和集是A = {11, 17, 20, 22, 23, 24}，且S(A) = 117。然而，这并不是最优的，我们只是运用这个简单的算法得到一个接近优化的结果。实际上，此时的最优异和集该是A = {11, 18, 19, 20, 22, 25}，且S(A) = 115，设定其对应的数字串是排列后的元素的连接111819202225。

请找到当n = 7时的最优异和集对应的数字串。

提醒：这题跟problems 105和106有关。

Fibonacci数列的递归定义如下：

已知F₅₄₁有113位数，而且它是第一个最后9位数是1至9的泛位数的项。另外，F₂₇₄₉有575位数，它是首个开头9位数是1至9的泛位数的项。

假设F_k是第一个具有这样性质的Fibonacci数：前10位数和后10位数都是1至9的泛位数。请求出k的值。

让我们用S(A)来表示某元素个数为n的集合A中数字的总和。某集合的任意两个不相交的非空子集B和C若符合以下两个条件，则称它为「异和集」：

1. S(B) ≠ S(C)
2. 若B的元素比C的多，则S(B) > S(C)

例如，{81, 88, 75, 42, 87, 84, 86, 65}不是「异和集」，因为65 + 87 + 88 = 75 + 81 + 84；而{157, 150, 164, 119, 79, 159, 161, 139, 158}的所有非空子集都符合上述两个条件，它的S(A) = 1286。

在文本文档sets.txt中含有100个数集，每个含有7至12个元素。（头两个集合就是上例中的）请找出所有「异和集」 A₁, A₂, ..., A_k，且求出S(A₁) + S(A₂) + ... + S(A_k)。

提醒：这题和problems 103、106有关。

让我们用S(A)来表示某元素个数为n的集合A中数字的总和。某集合的任意两个不相交的非空子集B和C若符合以下两个条件，则称它为「异和集」：

1. S(B) ≠ S(C)
2. 若B的元素比C的多，则S(B) > S(C)

在此问题中，我们假定所有集合中的元素都按升序排列了，并且它们都满足上述第二个条件。

令人惊奇的是，在n = 4的集合的25对非空子集中，只有1对需要测试他们是否满足第一个条件。同样地，当n = 7时，966对子集中只有70对需要测试第一个条件。

当n = 12时，在261625对非空子集中，有多少对必须进行第一个条件的检测？

提醒：这题和problems 103 , 105类似。

以下网络含7个接点，12条边，总负荷为243。

其矩阵描述形式如下：

不过，我们可以去掉某些边，而网络依旧是连通的。以下就是该网络达到最小负荷时的连通情况，总负荷为93，相对原先的减少了243 - 93 = 150。

在文本文档network.txt中，给出了一个具有40个接点的网络的矩阵形式，请在保持网格连通的情况下，找到改良后能最节省成本的网络的总负荷。

有如下方程，x, y, n都是正整数：

若n = 4则有三种解：

能令这个方程有超过1000种不同解的n的最小值是……？

注意：这是problem 110的简单版本，不过，强烈建议你先解决目前这个问题。

在一场飞镖游戏中，每个玩家能投掷三个飞镖，靶子被等分为20个区域，它们被标号为1~20。

得分将由飞镖所在靶子上的区域号码决定。在红绿环以外的不计分，在黑白环上的记一倍（×1）分数，而在红绿环上的，由外到内分别能得到两倍（×3）和三倍（×3）的分数。

靶心分两部分，掷中外圈得25分，内圈得50分。

这种游戏有很多的玩法，其中最受欢迎的一种是：每人一开始有301分或501分，首先把分值降到0的人就胜出。不过，一般还会加上一个「加倍终局」限制，即，玩家必须在最后一镖投中一个「加倍分数」（包括红绿环和靶心），否则投到的其他能让分值降到0或以下的得分都不计。（译注：貌似走题了……）

当玩家结束游戏时，它们的评分记录最高可为170：20×3 20×3 25（两20分的内红绿环和一个外靶心25).

得到6分的方式有11种：

注意，1×2 2×2与2×2 1×2不同，因为它们是不同区域分数的加倍，不过，1×1 1×3 1×2是认为与1×3 1×1 1×2相同的。

另外，我们不必考虑投不中的情况。譬如说，3×2等同于0 3×2和0 0 3×2。

已知所有的得分方式加起来总共有42336这么多。

那么得分低于100的方式有多少种呢？

有如下方程，x, y, n皆为正整数：

当n = 1260时，有113个不同的解，这时的n也是让该方程的解超过100个的最小值。

若该方程的解有超过400,0000种，则n的最小值是……？

提醒：这题比problem 108难得多，无法暴力求解，故需要一点小窍门。

假设4位的质数包含重复的数字，那么它的每位数不能都是一样的：1111能被11整除，2222能被22整除，如此等等。而所有含三个重复数字的4位质数有9个：

1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111

现在我们用M(n, d)来表示n位的质数中重复数字d最多有多少个，用N(n, d)来表示重复数字有M(n, d)个的 n位质数的个数，再用S(n, d)表示这些质数的和。

因此，M(4, 1) = 3是4位的质数中1最多能重复3个（译注：即是说唯一的1111不是质数，只能取3次重复），且N(4, 1) = 9，S(4, 1) = 22275。当d = 0时，虽然M(4, 0) = 2，不过N(4, 0) = 13。

就这样，我们可以得到关于4位质数的一些信息：

当0 ≤ d ≤ 9时，所有S(4, d)的和是273700。

请求出所有S(10, d)的和。

若一个数的每位数由左到右逐渐增大，那就称之为「上升数」，如134468。同理，还有「下降数」，如66420。

此外，再把既不上上升数又不是下降数的正整数称为「弹性数」，如155349。

显然，在100以下不存在任何弹性数。不过在1000以内有525个弹性数。经统计，第一个使弹性数的比例达到或超过50%的上限是538。

当上限越来越大时，弹性数的比重就越来越大。上限为21780时弹性数的比例为90%。

请找出弹性数的比例为99%（准确值）时的最小上限。

若一个数的每位数由左到右逐渐增大，那就称之为「上升数」，如134468。同理，还有「下降数」，如66420。

此外，再把既不上上升数又不是下降数的正整数称为「弹性数」，如155349。

当上限n增大时，不超过n的弹性数也增多，而在100,0000以下有12951个非弹性数，在10¹⁰以下有277032个非弹性数。

问：在googol数（10¹⁰⁰）以下有多少个非弹性数？

将一排7个砖块（长度为1）中的几块用长度不小于3的红色砖块替换，任意两个红色砖块间至少间隔一个黑色砖块（否则视为一块红砖），那么则有以下17种替换方案：

若是一排有50个黑色方块，又有多少种替换方式呢？

提醒：这题比problem 114难一点。

一排n个黑色砖块（长度为1）中的某些或全部被长度至少为m的红色砖块替换了，且两块红色砖块之间至少隔着一块黑色砖块。

设函数F(m, n)表示上述砖块的替换方案总数。

例如，F(3, 29) = 673135，F(3, 30) = 1089155。

上述例子说明，当m = 3时，n = 30是能使替换方案总数超过100,0000的最小数字。

同样地，当m = 10时，F(10, 56) = 880711且F(10, 57) = 1148904，因此n = 57是使替换方案超过100,0000的最小数字。

问：当m = 50时，使F(50, n)超过100,0000的n至少是多少？

一排五个黑色砖块（长度为1）中的某些砖块被不同颜色的砖块替换了，有红色的（长度为2），有绿色的（长度为3），有蓝色的（长度为4）。

若只用红色砖块替换，那么就有以下7种替换方式：

若只用绿色砖块，则有3种：

若只用蓝色砖块，则有2种：

这样，若只用一种颜色的砖块来替换，总共就有7 + 3 + 2 = 12种替换方式。

若是一排上有50个黑色砖块，那么只用一种颜色的砖块（红、绿、蓝）来替换，总共有多少种替换方案呢？

提示：这题是problem 117的简单版本。

用不同颜色的砖块将一排五个黑色砖块（长度为1）中的某些砖块替换，用的砖换有红色的（长度为2），有绿色的（长度为3），有蓝色的（长度为4）。总共有15种替换方式：

若是一开始一排上有50个黑色砖块，那么总共有多少种替换方式呢？

提醒：这题是problem 116的困难版本。

仅用1至9的数字各一次构成整数，可以组成多种集合。有些集合很有趣，如{2,5,47,89,631}，其中所有的数字都是质数。

问所有这些集合中仅包括质数的集合有多少个？

512有个有趣的性质，它是它的每位数之和的幂：5 + 1 + 2 = 8且8³ = 512。像这样的数字还有614656 = 28⁴。

设a_n是第n个具有这种性质的不少于两位数的正整数，已知a₂ = 512且a₁₀ = 614656，请求出a₃₀。

设r是(a-1)ⁿ + (a+1)ⁿ被a²除了之后的馀数。

例如，当a = 7和n = 3时，r = 42，6³ + 8³ = 728 ≡ 42 mod 49。当a = 7时，r随着n的大小变化会有最大值r_max= 42。

请把当3 ≤ a ≤ 1000时所有情况下r的最大值的和∑r_max求出来。

某袋子里有一个红色圆片和一个蓝色圆片，在一次赌博中，玩家从中随机摸出一个，并把颜色记下来，接着把圆片放回去，并且再加多一个红色圆片。下一回合又重新随机摸出一个。

每玩一次游戏收费1英磅，若是游戏结束时所记下的蓝色比红色多的话就算赢。

假如只玩四个回合，那么胜出的机率是11/120，相应地，庄家能提供的奖金至多是10英磅（1÷11/120≈10.9，向下取整则为10），以防亏损过多。还要注意的是，交易中的钱都是整数英磅的，并且奖金中实际包含了1英磅的费用，故玩家实际赢得的最高奖金是9英磅。

若是玩15个回合，奖金至多该是多少呢？

一般来说我们计算n¹⁵需要进行14次乘法运算：

n × n × ... × n = n¹⁵

不过，通过一个「二次」方式，你只须乘6次：

1. n × n = n²
2. n² × n² = n⁴
3. n⁴ × n⁴ = n⁸
4. n⁸ × n⁴ = n¹²
5. n¹² × n² = n¹⁴
6. n¹⁴ × n = n¹⁵

然而你可能要5次就够了：

1. n × n = n²
2. n² × n = n³
3. n³ × n³ = n⁶
4. n⁶ × n⁶ = n¹²
5. n¹² × n³ = n¹⁵

设m(k)是计算n^k所需的最少相乘次数，那么m(15) = 5。

令1 ≤ k ≤ 200，请求出所有m(k)的和。

设p_n是第n个质数：2, 3, 5, 7, 11, ...令r为(p_n-1)ⁿ + (p_n+1)ⁿ除以p_n²的馀数。

譬如说，当n = 3, p₃ = 5时，4³ + 6³ = 280 ≡ 5 (mod 25)。

能使馀数r超过10⁹的最小质数是p₇₀₃₇，此时n = 7037。

那么能使馀数r超过10¹⁰的最小的n是……？

设rad(n)是n的所有质因数的积，如，504 = 2³ × 3² × 7，因此rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42。

若我们求出rad(n)在1 ≤ n ≤ 10时的所有情况，且将结果按rad(n)的大小排列，若rad(n)相等则再比较n的大小来排序，可得：

令E(k)是排序后的第k项，会有E(4) = 8，E(6) = 9。

若考虑1 ≤ n ≤ 100000的所有情况，那么E(10000)是……？

595是个有趣的回文数，它能够被表示成五个连续平方数的和：6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12²。

1000以下总共有11个这样的回文楼，且他们的和为4164。注意，1 = 0² + 1²由于0不是正整数，因而没有被包括在内。

10⁸以下又有多少个这样的回文数呢？请你把它们的和求出来。

要遮住一个3×2×1的长方体的每一面至少需要22个立方体：

若是要给上面得到的新立体再加上第二层把每一面都遮住，则需要46个立方体；如此，加第三层覆盖则需要78个立方体，加第四层则需要118个。

碰巧的是，5×1×1的长方体的第一层覆盖也需要22个立方体；类似的还有，5×3×1、7×2×1、11×1×1的长方体的第一层覆盖都需要46个立方体。

不妨用C(n)表示在某一层覆盖中需要n个立方体的长方体的个数，则C(22) = 2, C(46) = 4, C(78) = 5, C(118) = 8。

已知，当154是符合C(n) = 10的最小n值。

请找到符合C(n) = 1000的最小n值。

设rad(n)是n的所有质因数的积，如，504 = 2³ × 3² × 7，因此rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42。

满足以下所有条件的正整数三元组(a, b, c)被称为「abc组」：

1. GCD(a, b) = GCD(a, c) = GCD(b, c) = 1（译注：a, b, c两两互质）
2. a < b
3. a + b = c
4. rad(abc) < c

如，(5, 27, 32)是一个abc组，因为：

• GCD(5, 27) = GCD(5, 32) = GCD(27, 32) = 1
• 5 < 27
• 5 + 27 = 32
• rad(4320) = 30 < 32

看来abc组是很少的，当c < 1000时只有31个，且Σc = 12523。

请求出当c < 12,0000的所有abc组的Σc。

从1号六边形的「12点方向」开始，将2到7号六边形按逆时针环绕它，新的环也是以同样的方式添加的，8到19，20到37，38到61，等等。下图展示了三个环。

通过检查n号方块与相邻数字的差，我们定义PD(n)为这些差之中质数的个数。

如，按顺时针方向看8号周围的数字，它们与8分别相差12, 29, 11, 6, 1, 13，因此PD(8) = 3。

同样地，7与其相邻数字之差分别为1, 17, 16, 1, 11, 10，于是PD(17) = 2。

可验证，（译注：无论有多少圈）PD(n)的最大值是3。

若将所有PD(n) = 3的数字按升序（译注：从小到大）排列出来，那么第10个数会是271。

请找到这个数列中的第2000个数。

我们把一个完全由1构成的整数称为循环单位，并用R(k)来表示位数为k的循环单位。如，R(6) = 111111。

假设有正整数n，且n与10互质，可证明对于n总存在一个值k，R(k)能被n整除。设A(n)是满足此条件的最小的k值。如，A(7) = 6，A(41) = 5。

n使A(n)超过10的最小值是17。

n使A(n)超过100,0000的最小值是多少呢？

我们把一个完全由1构成的整数称为循环单位，并用R(k)来表示k位数的循环单位。如，R(6) = 111111。

假设有正整数n，且n与10互质，可证明对于n总存在一个值k，R(k)能被n整除。设A(n)是满足此条件的最小的k值。如，A(7) = 6，A(41) = 5。

又可证明，对于大于5的质数p，p - 1可被A(p)整除。如，当p = 41时，A(41) = 5且40可被5整除。

然而，少数的合数也有上面的性质，具有此性质的最小5个合数依次是91, 259, 451, 481, 703。

请求出最小的25个合数n的和，n与10互质，且n - 1能被A(n)整除。

对于某些质数p，存在一个正整数n，使n³ + n²p为一完全立方数。

如，当p = 19时，8³ + 8²×19 = 12³ 。

神奇的是，任一个这样的质数，其n的值都是唯一的，不会与其他质数的重复。已知在100以下只有4个这样的质数。

请问在100,0000以下，有多少个这样的质数？

我们把一个完全由1构成的整数称为循环单位，并用R(k)来表示位数是k的循环单位。

如，R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091，其质因数的总和为9414。

请求出R(10⁹)最小的前40个质因数的和。（译注：还是质因数分解的前40个最小项的和呢？）

我们把一个完全由1构成的整数称为循环单位，并用R(k)来表示k位数的循环单位。如，R(6) = 111111。

现在来看看这种形式的循环单位：R(10ⁿ)。

虽然R(10), R(100), R(1000)都不能被17整除，不过R(10000)可以。然而，不存在能被19整除的R(10ⁿ)。已知，能整除R(10ⁿ)的100以下的质数只有11, 17, 41, 73。

请求出10,0000以下不可能是R(10ⁿ)的因数的所有质数的总和。

请看这两个相邻的质数p₁ = 19和p₂ = 23，1219是以p₁结尾并能被p₂整除的最小正整数。

已知，除了p₁ = 3和p₂ = 5是一个例外，对于其余的所有相邻质数p₂ > p₁，总存在正整数n，其为既由p₁结尾，又能被p₂整除的数字，令S为n的最小值。

请求出5 ≤ p₁ ≤ 100,0000范围以内的所有S的总和。

有正整数x, y, z，是某个方程中的三个变量。正整数n在方程x² - y² - z² = n有解时的最小值是27，此时方程的解有两种：

34² - 27² - 20² = 12² - 9² - 6² = 27

当方程有10种解时，n的最小值是1155。

当方程有10种解时，n小于100,0000的情况有多少个？

有方程x² - y² - z² = n，x, y, z, n都是正整数，当n = 20时，此方程只有一个解：

13² - 10² - 7² = 20

已知在100以下能使该方程有唯一解的n的值只有25个。

那么，在5000,0000以下使方程有唯一解的n值有多少个？

定义某无穷多项式的值为A_F(x) = xF₁ + x²F₂ + x³F₃ + ...，其中，F_k是Fibonacci数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, ...中的第k项，F_k = F_k-1 + F_k-2，且F₁ = 1, F₂ = 1。

在这次的问题中，我们只须关心A_F(x)是正整数的情况。

A_F(x)的前五个自然数值及对应的x的值如下表所示：

我们应该称x为有理数的A_F(x)为「金子」，因为它们越来越稀少了，第10块「金子」已经是7404,9690了。

请找到第15块「金子」。

现有这么一个等腰三角形，它的底边长b = 16，两腰长L = 17。

根据毕达哥拉斯定理，可算出该三角形的高h = √(17² - 8²) = 15，它仅比底边长小1。

若b = 272且L = 305，则h = 273，仅比底边长大1。这是拥有这类性质的第二小的等腰三角形，即h = b ± 1。

请找到这类等腰三角形中最小的那十二个，求出它们的腰长L的总和。

用(a, b, c)来代表一个直角三角形的三边长，a, b, c都是整数。由样的四个直角三角形可以用来构成一个边长为c的正方形。

举个例子，四个三角形(3, 4, 5)可构造出一个5×5的正方形，其中有一个1×1的洞，可见，5×5的正方形能用25个1×1的方块拼成。

而用(5, 12, 13)构成的13×13的正方形中间会有个7×7的洞，13×13的方形不能用7×7的方块拼成。

若直角三角形的周长小于100,0000，那么有多少种三角形，以其构成的大正方形能被中间的小正方形空洞拼成？

有无限多项式公式A_G(x) = xG₁ + x²G₂ + x³G₃ + ...，其中G_k是这个二次递归函数生成数列的第k项：G_k = G_k1 + G_k2, G₁ = 1且G₂ = 4，即生成数列1, 4, 5, 9, 14, 23, ...

在本次的问题中，我们只需要考虑A_G(x)为正整数时的变量x。

A_G(x)为前五个正整数时对应的x如下表：

假如x为有理数我们就称A_G(x)为「金子」，因为x为有理数的情况会随着A_G(x)的增大变得越来越少。如，第20个金子是211345365。

请求出前30个金子的和。

某些正整数n，被d除，得商和余数分别为q和r，并且d, q, r是构成了等比数列的三个正整数，不过它们在数列中的顺序并不重要。

例如，58除6商9余4，可见，4, 6, 9构成了等比数列（公比是3/2）。

这样的数字n被称为「渐进数」。

有些渐进数，像9和10404 = 102²，恰好还是完全平方数。

已知10,0000以下的所有渐进完全平方数的和为124657。

请求出10¹²以下所有渐进完全平方数的和。

有三个正整数x, y, z，x > y > z > 0且x + y, x - y, x + z, x - z, y + z, y - z都是完全平方数，那么x + y + z的最小值是……？

设三角形ABC的每个内角都不大于120度，X为该三角形中的任意点，设XA = p, XB = q, XC = r。

Fermat要考考Torricelli，让他找出当p + q + r最小时，X的位置。

Torricelli证明了，在三角形ABC的每一边上构造等边三角形AOB, BNC, AMC，这三个三角形的外接圆会相交于一点T，且T点在三角形内。另外他还证明，T点就是使p + q + r最小的X的位置，这个点被称为Torricelli/Fermat点。然而更甚的是，当p + q + r达到最小值时，AN = BM = CO = p + q + r，并且AN, BM, CO也交于T点。

若p + q + r达到最小值，且a, b, c, p, q, r都是正整数的话，我们就称三角形ABC是Torricelli三角。例如，a = 399, b = 455, c = 511时，该三角形就是Torricelli三角，此时p + q + r = 784。

请求出所有不同的Torricelli三角的p + q + r的和，且p + q + r ≤ 120000。

在激光物理学中，有个反光镜系统被称作「白卵（white cell）」，它是用来滞延激光束的。激光束进入白卵中后会在内壁的镜面上不断进行反射，最终从入口处返回。

这次我们采用的白卵是一个椭圆，将其表示为方程为4x² + y² = 100。

椭圆顶部的-0.01 ≤ x ≤ +0.01的区域没有了，为的是让激光束进出白卵。

现在某激光束从点(0.0,10.1)进入白卵，首次反射是位于点(1.4,-9.6)。

每当这激光束射中椭圆形白卵的内壁时，都会遵循反射定律，即「入射角与反射角相等」，也即是说，入射光线和反射光线与入射点上的法线之间形成的角度的大小是一样的。

在左图中，红线指示了头两个激光束在白卵内壁上的接触点，蓝线表示的是在第一个入射点上外切于椭圆的直线。

已知，过椭圆上任一点(x, y)的切线的斜率m都为-4x/y，且法线过入射点垂直于该点上的切线。

右图展示的是该激光束的前10次反射。

请问：该激光束在离开白卵之前总共反射了多少次？

某些正整数n具有这样的性质：n与n的倒置之和的每位数都是奇数。如，36 + 63 = 99，409 + 904 = 1313。于是我们把这种数字称为「可逆数」。但n或n的倒置不可出现前置的0（如012, 210）。

1000以下有120个可逆数。

那么10,0000,0000（十亿）以下有多少个可逆数呢？

能使n²+1, n²+3, n²+7, n²+9, n²+13, n²+27是连续的质数的最小正整数n是10，而在100,0000以下符合条件的所有正整数n的总和为1242490。

那么在1,5000,0000以下符合条件的所有正整数n的和是……？

在一个3x2的画有交叉线的格子中，总共可以构造37个矩形：

有5种格子的尺寸小于3x2，在垂直或水平上我们都认为有区别，即1x1, 2x1, 3x1, 1x2, 2x2。若它们都是画有交叉线的，那么我们能在其中构造的矩形数如下所示：

• 1x1：1
• 2x1：4
• 3x1：8
• 1x2：4
• 2x2：18

将以上的数据应用到上面所有37种3x2格子中，总共有72（译注：37+35）种矩形能嵌进3×2和更小的格子中。

那么总共能将多少种矩形嵌进47x43和更小的格子中呢？

可以轻易地证明，Pascal三角的前7层中没有一个数能被7整除：

然而，若检查前100层的5050个数字，其中只有2361个是不能被7整除的。

请找出Pascal三角的前10⁹层中不能被7整除的数字的总个数。

看看下面的表格，易见在同一条直线（水平线、竖直线、对角线）上的任意个相邻数字之和最大可为16 = 8 + 7 + 1。

现在，让我们在更大的表格上寻找这样的和。

首先，要生成400,0000个伪随机数，生成伪随机数的公式叫做「滞后Fibonacci数生成器」：

当1 ≤ k ≤ 55时，S_k = [100003 - 200003k + 300007k³] mod 1000000 - 500000

当56 ≤ k ≤ 4000000时，S_k = [S_k-24 + S_k-55 + 1000000] mod 1000000 - 500000

如，S₁₀ = -393027，S₁₀₀ = 86613。

接着，S_k的值被填充到一张2000×2000的表格中，前2000个S_k值在第一行，下2000个则在第二行，如此等等。

最后，就是要找到在同一方直线上任意个相邻数字之和的最大值了。

我们想在一个正整数和负整数的三角形数列中，找到一个子三角形数列，使其中的数字之和最小。

在下面的例子中，容易证明，标记出来的三角形数列满足了我们的条件，其中的数字之和为-42。

为了构造一个具有1000行的三角形数列，我们在±2¹⁹的范围内产生了500500个伪随机数s_k，伪随机数产生器（线性同余）如下：

t := 0 

for k = 1 up to k = 500500: 

    t := (615949*t + 797807) mod 220 

    sk := t-219

于是：s₁ = 273519, s₂ = -153582, s₃ = 450905等。

这样，我们就能利用这些伪随机数构造三角形数列了：

子三角形数列可从任一项开始，最少一行（只有一项）。（第二行有2项，第三行有3项，如此等等）

请找到其中的一个子三角形数列，使其中的数字之和最小。

某家打印店每周都要进行16批工作，每批工作都需要一张A5大小的特殊抗染色纸。

第天早上，工头都会打开一个装有一张特殊A1纸的包裹，把A1纸取出来。

他会把这张纸裁剪成两半，于是就得到了两张A2纸；接着他又把其中一张A2纸剪成两半，得到两张A3纸；如此下去，直到得到一张A5纸，然后拿去完成每周的第一批工作。

其余没有用到的纸，都会被放回那个包裹里。

对于接下来的每一批工作，他都会从包裹中随机抽出一张纸。若纸不是A5大小的，他就会不断以「剪成两半」的方式得到所需的一张A5纸，最后剩下的纸还是放回到包裹中。

现除去首次和末次的两批工作，请求出每周这个工头在拿纸张时只找到一张纸的次数的平均值。

答案要精确到小数点后6位。

有几种方法可以将1/2表示为一组不同的数字的平方的倒数之和。

例如，可用{2,3,4,5,7,12,15,20,28,35}：

事实上，仅用2到45的部分数字就有三种方法做到这点了，除上面所示的一组数字之外还有{2,3,4,6,7,9,10,20,28,35,36,45}和{2,3,4,6,7,9,12,15,28,30,35,36,45}。

那么用2到80的部分数字，将1/2表示为这些不同数字的平方的倒数之和的方式有多少种呢？

众所周知，方程x²=-1没有实数解。

不过，假如我们认识了虚数i的话，上述方程就有两个解：x=i和x=-i。

这样，像复杂一点的方程(x-3)²=-4也会有两个复数解：x=3+2i和x=3-2i。x=3+2i和x=3-2i互为共轭数。

形如a+bi的数被称作「复数」，而a+bi和a-bi互为共轭数。

若复数a+bi中的a和b皆为整数，则该复数为「高斯整数」。

一般的整数也被称为高斯整数（b=0）。为了将它们与b ≠ 0的高斯整数区分开来，我们又称它们为「实整数」。

某高斯整数能「整除」实整数n，当且仅当除得的结果也是高斯整数。例如，将5除以1+2i，化简的方法如下：

将分子与分母同乘以1+2i的共轭数：1-2i。

结果为。

故1+2i能整除5。

而1+i不能整除5，因为。

另外，若高斯整数(a+bi)能整除实整数n，那么它的共轭数(a-bi)也能整除n。

已知，有6个实数部分为正数的高斯整数能整除5：{1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5}。

下表展示了前五个正实整数的所有能将其整除的实数部分为正数的高斯整数：

于是，根据上表我们得到：。

已知，若1 ≤ n ≤ 10⁵，∑s(n)=17924657155。

问：若1 ≤ n ≤ 10⁸，∑s(n)是……？

某三角金字塔是由圆球构成的，在上面的每一个圆球之下都压着三个圆球。

接着，我们要计算从顶端到其余位置的路径条数：

一条路径从顶端的圆球开始，可不断地通向其下三个圆球中的任意一个。

因此，通往某个位置的路径条数是到那个位置之上所有球的路径条数之和。（其上有多少个球取决于其位置）

这个问题的结果被称为Pascal金字塔，其第n层的数字（译注：即从顶端到达某个球的路径条数）是三项式(x + y + z)ⁿ的展开式的所有系数。

问：(x + y + z)²⁰⁰⁰⁰⁰的展开式的所有系数中，有多少个是10¹²的倍数？

某个电路用的电容器都是专门订造的，种类只有一个，且电容都为C。

我们可将这些电容器串联或并联组合出新的元件，新的元件又可以继续联合起来构造更大的元件，最终得到一个更为复杂的电路。

因此我们能以上述的方式使用n个电容器，构造出一系列不同电容的元件。比如说，若n=3，每个电容器的电容C=60μF，可构造以下7种不同电容的元件：

设D(n)为使用n个相同的电容器所能构造的不同电容的元件的种数，则：D(1)=1, D(2)=3, D(3)=7 ...

请求出D(18)的值。

提示：若两个电容器的电容分别为C₁, C₂，那么当它们并联时的总电容为C_T = C₁ + C₂ +...，当串联时则。

从0开始，像这样把十进制的自然数写下来：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12....

现在看位数d=1，每次写下一个数字n之后，我们都会统计位数1已经出现过的次数f(n,1)。前几个f(n,1)如下：

注意了，f(n,1)永远不会等于3。

因此f(n,1)=n的头两个解分别是n=0和n=1，下一个解是n=199981。

以同样的方式，我们设f(n,d)为位数d在写下数字n后总共被写下的次数。

已知，对于任意位数d ≠ 0，0是f(n,d)=n的第一个解。

设s(d)为f(n,d)=n所有的解的和。现在你得知，s(1)=22786974071。

请求出∑s(d)，1 ≤ d ≤ 9。

现有丢番图（Diophantine）方程¹/_a+¹/_b= ^p/_10ⁿ，a, b, p, n皆为正整数，且a ≤ b。

若n = 1，则该方程总共有20个解，如下表所示：

那么，在1 ≤ n ≤ 9的范围内总共有多少个解呢？

从英语字母表中挑出三个不同的字母，可以构造一串字符，如'abc', 'hat', 'zyx'。

看看这串字符，'abc'中有两个是按字母表顺序挨在左边相邻的字符上的，'hat'中则只有一个，而'zyx'中一个也没有。

在所有长度为三的字符串中，有10400个是只有一个字符按字母表顺序挨在左边相邻字符上的。

现在来看由不多于26个不同的英文字母组成的字符串。

设p(n)为长度为n的字符串中只有一个字符按字母表顺序挨在左边相邻字符上的字符串的个数。

那么p(n)的最大值是……？

一个合数的因式分解有很多种，如，不包含因数1，24的因式分解有如下7种：

1. 24 = 2x2x2x3
2. 24 = 2x3x4
3. 24 = 2x2x6
4. 24 = 4x6
5. 24 = 3x8
6. 24 = 2x12
7. 24 = 24

请回想以前介绍过的「数字根」，在十进制下，是由将数字的所有位上的数加起来，得到的和若不小于10则重复这个过程，直到得到一个小于10的数字，那就是数字根。如，467的数字根是8。

这回，我们定义「数字根和」为数字的因式分解中所有数字的数字根的和。

在这个问题中，我们只讨论不含因数1的因式分解。

如下为24的各个数字根和：

可见，24的最大数字根和为11。

设mdrs(n)为n的最大数字根和，则mdrs(24)=11。

请在1 < n < 100,0000的范围内，求Σmdrs(n)。

给定任意正整数N，设f(N)为N!除末尾连续的0之前的5位数。

例如，

• 9! = 362880，f(9)=36288
• 10! = 3628800，f(10)=36288
• 20! = 2432902008176640000，f(20)=17664

请求出f(1,0000,0000,0000)。

「三格骨牌」是由三个同样的正方形边对边组成的图形（译注：多格骨牌的一种），它有两种基本的形式：

若是把不同的方向也考虑进去，就有六种基本形式：

对于任意n×m的区域，若n×m能被3整除，那么它就能被三格骨牌铺满。

若是将经过反射或旋转的填充方式看作是不同的方案（译注：除非和之前完全相同），那么要用三格骨牌铺满2×9的区域总共有41种方式：

若是用三格骨牌铺满9×12的区域，则共有多少种方式呢？

十六进制计数系统使用16种数字：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

十六进制数AF转换成十进制数即10×16+15=175。

在三位的十六进制数10A, 1A0, A10, A01中，都含有数字0,1, A。

像书写十进制数一样，十六进制数也不加前置的0。

有多少个最多十六位的十六进制数包括数字0,1, A都至少一个呢？

请用十六进制数提交你的答案。

（A,B,C,D,E,F用要大写，没有表示十六进制数的前缀或后缀。如，应该像是1A3F，而不是像1a3f或0x1a3f甚至$1A3F或#1A3F还有0000001A3F这样的。）

请先看一下面图尺码为1号的等边三角形，其内部还有从各顶点出发的中线。

这个等边三角形总共包含16个不同形状、不同大小、不同朝向或不同位置的三角形。现在用这个尺码为1号的三角形为基本单元，构造更大的三角形。如右边那个2号大小的三角形，其中总共包含104个三角形。

可见，2号大小的三角形由四个单元组成，3号大小的则要9个单元，尺码为n号的要用n²个单元构造。

设T(n)为n号大小的三角形总共含有的三角形个数，那么：

• T(1) = 16
• T(2) = 104

请求出T(36)。

请求出具有这个性质的20位的整数的个数（不含前导的0）：任意连续三个位上的数的和都不超过9。

一条线段由它的两个端点唯一地确定。

在平面几何中，两条线段的关系有以三种情况：没有交点，有且只有一个交点，有无数个交点。

此外，当两条线段有且只有一个交点时，或许这个交点是其中一条或两条线段的端点。若交点不是任一条线段的端点，那么它就是两条线段的内交点。

若交点T是线段L₁和L₂的唯一交点，且是内交点，我们则称T点是线段L₁和L₂的真交点。

现在看以下三条线段：

• L₁：(27, 44) 到 (12, 32)
• L₂：(46, 53) 到 (17, 62)
• L₃：(46, 70) 到 (22, 40)

可证明，线段L₂和L₃有一个真交点，而线段L₃的一个端点(22,40)在L₁上，故该点不可能是真交点，另外，L₁和L₂没有交点。因此，在这三条线段之间，我们只找到一个真交点。

现在我们继续在5000条线段之间找，为此，我们用一个叫做「嗙啷嗙啷唰」的伪随机数生成器产生了20000个数字：

s₀ = 290797

s_n+1 = s_n×s_n mod 50515093

t_n = s_n mod 500

要生成每一条线段，只需要取连续的四项t_n作为端点坐标即可。第一条线段是：(t₁, t₂) 到 (t₃, t₄)

这个伪随机数生成器生成的前4项为：27, 144, 12, 232。因此第一条线段是从(27,144)到(12,232)。

那么在这5000条线段间总共有多少个真交点呢？

某4×4的表格被0到9的数字填充了：

6 3 3 0
5 0 4 3
0 7 1 4
1 2 4 5

可见，它的每一行或每一列上数字的和都是12，连两条对角线上数字的和都分别是12。

问：用0到9的数字来填充这个4×4的表格，总共有多少种方式能使得每一行、每一列和每条对角线上的数字之和皆相等？

对于任意两个正整数a和b，有Ulam数列U(a,b)，U(a,b)₁ = a, U(a,b)₂ = b，当k > 2时，U(a,b)_k为只能写成其前面唯一的两项的和，且大于U(a,b)_(k-1)的最小数字。

例如，数列U(1,2)的前几项是：

1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8

5不属于这个数列，因为5 = 1 + 4 = 2 + 3，有两种表示为前面两项的和方法。同样地，7 = 1 + 6 = 3 + 4也不在这个数列中。

请求出在2 ≤ n ≤ 10的范围中，∑U(2,2n+1)_k的值，其中k = 10¹¹。

只要将142857的每位数旋转右移，就能得到数字714285。

可证明，714285=5 × 142857。

这样就揭示了142857的一个性质：它可以整除它自身经过旋转右移后的数字。

请求出正整数10 < n < 10¹⁰⁰中具有这种性质的所有数字的和的最右边5位数。

设f(0)=1，且设f(n)为正整数n能用2的整数幂之和表示的方式的种数，每个整数幂最多只能重复一次。

如，f(10)=5，因为总共有5种方式来表示10：

1. 1 + 1 + 8
2. 1 + 1 + 4 + 4
3. 1 + 1 + 2 + 2 + 4
4. 2 + 4 + 4
5. 2 + 8

那么，f(10²⁵)的值是……？

将数字6分别乘以1273和9854：

• 6 × 1273 = 7638
• 6 × 9854 = 59124

接着把乘积首尾连接起来，可得到一个1到9的泛位数763859124，我们称763859124为6和(1273, 9854)的「积连接」。另外还请注意了，数字6, 1273, 9854连起来也是一个1到9的泛位数612739854。

这些做法也能应用到0到9的泛位数上。

请找到这么一个0到9的泛位数，其为某个整数和其它两个或更多的整数的「积连接」，且这些整数的连接也是一个0到9的泛位数。

对于正整数n，设f(n)为它的（十进制下）每位数的平方的和，如：

• f(3) = 3² = 9
• f(25) = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
• f(442) = 4² + 4² + 2² = 16 + 16 + 4 = 36

请在0 < n < 10²⁰的范围中，求出所有满足f(n)是完全平方数的n的和，并提交计算结果的最后9位数。

有多少个18位整数（没有前置的0）没有一位数出现超过3次？

假定要做出这么一个方形铁板，它中间有个方形的洞，这块铁板是上下对称和左右对称的。比如，用32块方形铁片，我们可以做出以下两种方形铁板：

若是最多能用100块铁片，那么我们可以做出51种不同的方形铁板。

若是最多能用100,0000块铁片，则可做出多少种？

假定要做出这么一个方形铁板，它中间有个方形的洞，这块铁板是上下对称和左右对称的。

若用8块方形铁片，则只能做出一种：3×3的铁板中有一个1×1的洞。而用32块铁板可做出如下两种：

设t是使用的方形铁片数，以能做的铁板种数将t = 8或32的情况分类为用L(1)和L(2)。

再设N(n)是t ≤ 1000000时属于L(n)一类的t的情况总数，如，N(15) = 832。

那么当1 ≤ n ≤ 10时，所有N(n)的总和是……？

设f(0)=1，且设f(n)为正整数n能用2的整数幂之和表示的方式的种数，每个整数幂最多只能重复一次。

例如，f(10)=5，因为10有如下5种表示方式：

10 = 8+2 = 8+1+1 = 4+4+2 = 4+2+2+1+1 = 4+4+1+1

可证明，对于每一个分数p/q（p>0, q>0），至少存在一个正整数n，使得f(n)/f(n-1)=p/q。

如，使得f(n)/f(n-1)=13/17的最小的n是241。另外，241的二进制值为11110001，从这个数的最高位看到最低位，有4个1、3个0和1个1，我们称「4,3,1」为241的二进制缩写。

请求出满足f(n)/f(n-1)=123456789/987654321的最小n的二进制缩写。

注意，缩写中的数字要用逗号分隔，不留空白。

有四个直角三角形，其三边长各自为(9,12,15), (12,16,20), (5,12,13), (12,35,37)，它们都有一条较短的边（直角边）的边长为12。除此之外，没有任何纯整数边长的直角三角形再具有边长为12的直角边。

请找到最小的整数边长，其为47547种不同的纯整数边长的直角三角形的某直角边的边长。

假设有突四边形ABCD，并连上了对角线AC和BD，这样四边形的每个顶点上都有被对角线分出的两个角，总共有八个角。

譬如说，在顶点A上，分别有两个角∠CAD和∠CAB。

若这样的四边形的这八个角度都是整数，则称它为「整数角四边形」。其中一种整数角四边形就是正方形，那八个角都是45°。还有整数角四边形如∠DAC = 20°, ∠BAC = 60°, ∠ABD = 50°, ∠CBD = 30°, ∠BCA = 40°, ∠DCA = 30°, ∠CDB = 80°, ∠ADB = 50°。

请问：总共有多少种不相似的整数角四边形？

注意：在计算中，整数角度容差为10^-9，即是说，角度值的小数部分在此范围内的角都被当作是整数角。

让我们好好来地看一下45656这个数字：它的相邻两个数字之差皆为1，这样的数被称之为「阶梯数」。

而含有0到9所有数字至少一次的数就叫「全数数」。

不知在10⁴⁰以下有多少个整数既为阶梯数，又为全数数呢？

令1 < n < 10⁷，且n和n + 1有同样多的正因数，那么这样的n总共有多少个？例如，14的正因数有1, 2, 7, 14，15的正因数有1, 3, 5, 15。

有这么三个关于任意整数n的函数：

f_1,n(x,y,z) = xⁿ⁺¹ + yⁿ⁺¹ - zⁿ⁺¹

f_2,n(x,y,z) = (xy + yz + zx)*(x^n-1 + y^n-1 - z^n-1)

f_3,n(x,y,z) = xyz*(x^n-2 + y^n-2 - z^n-2)

将这三个函数组合成一个新的函数：

f_n(x,y,z) = f_1,n(x,y,z) + f_2,n(x,y,z) - f_3,n(x,y,z)

我们称(x,y,z)为k阶黄金三元组，若x, y, z 都是具有如此形式的有理数：a / b，且0 < a < b ≤ k ，并且存在一个整数n，使得f_n(x,y,z) = 0。

设s(x,y,z) = x + y + z，再设t = u / v 为所有35阶黄金三元组(x,y,z)的所有不同s(x,y,z)的和，所有的s(x,y,z)，还有t都必须是最简形式。

请求出u + v。

现在有3个黑色的物体B和1个白色的物体W，它们能够用7种方式堆放起来，像这样：

那么假如有60个黑色物体B和40个白色物体W，能有多少种方式来堆放它们呢？

著名的RSA加密算法是基于如下算法实现的：

1. 生成两个不同的素数p和q
2. 令n = pq, φ = (p-1)(q-1)
3. 找到一个整数e，1 < e < φ，使gcd(e,φ) = 1
4. 每個基本信息单元的数字编码在[0, n-1]之间
5. 每份包含大量信息的明文都將被转化为一堆数字编码（[0, n-1]）
6. 要加密文本，对于其中的每个信息单元m，就要算出对应的数字编码c = m^e mod n，这便是加密
7. 而要破解密文，就必须找出d，ed mod φ = 1，接着对于每个数字编码c，计算出明文信息m = c^d mod n

另外，满足m^e mod n = m的e和m有很多。

我们称信息单元m为未加密信息，若m^e mod n = m。

在选择恰当的e时，得避免造成过多信息未经加密。

如，设p=19, q=37，

接着n = 19×37 = 703, φ = 18×36 = 648，

若选定e = 181，那么即使gcd(181, 648) = 1，信息单元m（0 ≤ m ≤ n-1）都无法加密，因为m^e mod n = m。

因此对于任意有效的e来说都存在相应的未加密信息单元。

而我们的目的就是要将未加密信息单元的数量限制到最小。

现在令p = 1009, q = 3643，请求出所有这样的e的和，1 < e < φ(1009,3643)且gcd(e, φ) = 1，使得造成未加密信息单元数量最少。

N是一正整数，把N等分成k份，r = N/k，这样，N = r + r + ... + r。

令P = r × r × ... × r = r^k。

譬如说，若11被等分为5份，11 = 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2，则P = 2.2⁵ = 51.53632。

现设M(N) = P_max，即对于N，P能达到的最大值。

那么，当把N = 11平分为4份时，就有P_max = (11/4)⁴，即M(11) = 14641/256 = 57.19140625，它是一个不循环小数。

不过，若N = 8，则平分为3份时有M(8) = 512/27，这是一个无限循环小数。

现再设D(N) = N若M(N)是个无限循环小数，且D(N) = -N若M(N)是个不循环小数。

如，当5 ≤ N ≤ 100时，ΣD(N) = 2438。（译注：Σ是求和符号）

问：当5 ≤ N ≤ 10000时，ΣD(N)为多少？

假设I_r为圆心在直角坐标坐标系原点上的半径为r的圆中，所有坐标为整数的点(x,y)的集合，亦即有x² + y² r²。

假设圆的半径为2，那么I₂含有点(0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1), (1,-1)，以这些点为顶点，且包围圆心的三角形总共有8个。其中两个三角形如图所示，其它的只要将这两个三角形旋转几次就能得到：

假设半径为3，那么这样的三角形就有360个了。若半径为5，则有10600个。

若半径为105，那么这样的三角形又有多少个呢？

一会将要介绍的游戏「猜数字（Number Mind）」是一个出名的叫做「珠玑妙算（Master Mind）」的游戏的变体。

你不用猜珠子，而是要猜一系列按顺序排列的数字。每猜一次，你都会被告知有几个位置上的数字猜对了，因而，若答案是1234，你猜2036的话，就会告诉你有一个位置猜中了。不过，（译注：和Master Mind不同的是）你不会知道有多少个猜到的数字放错了位置。

游戏如下，猜5个数字：

1. 90342 -对了2个
2. 70794 -对了0个
3. 39458 -对了2个
4. 34109 -对了1个
5. 51545 -对了2个
6. 12531 -对了1个

而正确答案是39542，根据上面的过程，这个答案是唯一的。

现在，请根据下面的猜测过程……

1. 5616185650518293 -对了2个
2. 3847439647293047 -对了1个
3. 5855462940810587 -对了3个
4. 9742855507068353 -对了3个
5. 4296849643607543 -对了3个
6. 3174248439465858 -对了1个
7. 4513559094146117 -对了2个
8. 7890971548908067 -对了3个
9. 8157356344118483 -对了1个
10. 2615250744386899 -对了2个
11. 8690095851526254 -对了3个
12. 6375711915077050 -对了1个
13. 6913859173121360 -对了1个
14. 6442889055042768 -对了2个
15. 2321386104303845 -对了0个
16. 2326509471271448 -对了2个
17. 5251583379644322 -对了2个
18. 1748270476758276 -对了3个
19. 4895722652190306 -对了1个
20. 3041631117224635 -对了3个
21. 1841236454324589 -对了3个
22. 2659862637316867 -对了2个

找到那个唯一的16个数字。

现有一份繁忙的电话通讯系统记录的100万条记录：

在第n条记录中，呼叫方Caller(n) = S_2n-1，接收方Called(n) = S_2n，其中，S_1,2,3,...生成自「滞后Fibonacci数生成器」：

当1 ≤ k ≤ 55时，S_k = [100003 - 200003k + 300007k³] mod 1000000。（译注：[ ]是取整数部分函数）

当56 ≤ k时，S_k = [S_k-24 + S_k-55] mod 1000000。

假如Caller(n) = Called(n)的话，就看作是用户拨错了号码，否则就当作是拨打成功。

从第一条记录开始，若X呼叫Y，或Y呼叫X，则X和Y是朋友。类似地，若X是Y的朋友，且Y是Z的朋友，那么X也是Z的朋友，如此下去，形成一条条关系链。

已知国家首相的电话号码是524287，那么从第一条记录开始，要经过多少次成功的拨打，才能使包括首相在内的99%的用户都是朋友呢？

「合数」就是至少含有两个质因数的整数，如，15 = 3 × 5, 9 = 3 × 3, 12 = 2 × 2 × 3。

在30以下有10个仅含有两个质因数的合数：4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26。

设n < 10⁸，且n是仅含两个质因数的合数，那么符合条件的n有多少个？

一个数字的b（正整数）次hyperexponentiation/tetration运算，可用a↑↑b或^ba来表示，其递归定义为：

• a↑↑1 = a
• a↑↑(k+1) = a^(a↑↑k)

例，3↑↑2 = 3³ = 27，因此3↑↑3 = 3²⁷ = 7625597484987且3↑↑4大概等于10^{3.6383346400240996×10^12}。

请找到1777↑↑1855的后八位数。

看这个由64个小三角形组成的结构：

我们想给每一个小三角形涂上红、绿、蓝三种颜色之一，且相邻的两个三角形不能上同样的颜色，这就是上色的限制。若是两个三角形有公共边，则称这两个三角形相邻。

注意：有公共顶点的三角形不能看作是相邻的。

例如，上面的结构可以这么上色：

若着色方案C'是由着色方案C经过旋转或反射而来的，也将这两种方案看作是不同的，除非它们是完全一样的。

問：总共有多少种着色方案呢？

设S_m = (x₁, x₂, ... , x_m)是一个正实数m元组，x₁ + x₂ + ... + x_m = m且P_m达到最大值，P_m = x₁ × x₂² × ... × x_m^m。

例如，[P₁₀] = 4112（[ ]是指只取整数部分，截断小数部分）。

在2 ≤ m ≤ 15的范围中，Σ[P_m]的值是……？

某个奇怪的学校会定期给学风良好的学生颁发奖金。若他们「连续三天缺席」或「迟到两次」的话，他们的奖金就会被取消。

在n天的週期中，每个学生都有一条由三种字母组成的考勤记录，分别是L (迟到), O (准时), A (旷课)。

若以4天为週期，则有81种不同的记录，不过其中只有43种是能获奖的：

OOOO OOOA OOOL OOAO OOAA OOAL OOLO OOLA OAOO OAOA

OAOL OAAO OAAL OALO OALA OLOO OLOA OLAO OLAA AOOO

AOOA AOOL AOAO AOAA AOAL AOLO AOLA AAOO AAOA AAOL

AALO AALA ALOO ALOA ALAO ALAA LOOO LOOA LOAO LOAA

LAOO LAOA LAAO

若以30天为週期，那么能获奖的记录共有多少种？

设x为任意实数，现定义以d为分母上限时x的最优近似值是最简有理分数r/s，且s ≤ d，任何比r/s更接近x的有理数p/q都有一个大于d的分母q。

比如说，分母上限为20时√13的最优近似值是18/5，分母上限为30时则为101/28。

假设分母上限为10¹²，1 < n ≤ 100000，且n不为完全平方数，请求出所有√n的最优近似值的分母的和。

若正整数n不会被质数的平方整除的话，就叫做平方质数。

像1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11都是平方质数，而4, 8, 9, 12都不是。

问：2⁵⁰以下有多少个平方质数？

假如我们在用A:和B:两种单元来构造图形，单元之间以竖直边相连在一起，像这幅图那样。

现以(a,b,c)表示一类复合图形，表示该图是用a个单元A和b个单元B构成的，用不超过c种颜色对图形中的点着色，并且任意两种相邻点之间的颜色都是不同的。

上面那幅复合图形的类型是(2,2,6)，其实它同时也是(2,2,c)类型的，其中c ≥ 4。

设N(a,b,c)为(a,b,c)类型的图形的个数，则N(1,0,3) = 24, N(0,2,4) = 92928, N(2,2,3) = 20736。

请求出N(25,75,1984)的后8位数。

不妨将整数边长的且只有一个角为60度的三角形称作「60度三角形」吧，设r为该三角形的内接圆的半径。

已知当r ≤ 100时有1234种60度三角形。设T(n)为当r ≤ n时所有60度三角形的种数，则T(100) = 1234,  T(1000) = 22767, T(10000) = 359912。

请求出T(1053779)。

用所有正整数建立如下的三角形数阵：

1.  1
2.  2  3
3.  4  5  6
4.  7  8  9 10
5. 11 12 13 14 15
6. 16 17 18 19 20 21
7. 22 23 24 25 26 27 28
8. 29 30 31 32 33 34 35 36
9. 37 38 39 40 41 42 43 44 45
10. 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
11. 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
12. . . .

每个正整数最多与8个数相邻。

三个质数被称为「质数三元组」，若其中某个质数与另外两个质数相邻。

举例说，在第二行，质数2和3是某三元组的成员。

在第8行，也有两个质数是某个三元组的成员，即29和31。

在第9行，只有一个质数是属于某个三元组的：37。

设S(n)为第n行中为某质数三元组的元素的所有质数的和，那么S(8)=60, S(9)=37。

已知S(10000)=950007619。

请求出S(5678027) + S(7208785)的值。

f(x) = ⌊2^{30.403243784-x2}⌋ × 10^-9（⌊ ⌋是向下取整符号），而u_n的递归定义如下：

u₀ = -1 , u_n+1 = f(u_n)

问：当n = 10¹²时，u_n + u_n+1为多少？

答案要精确到小数点后9位数。

设x为任意实数，现定义以d为分母上限时x的最优近似值是最简有理分数r/s，且s ≤ d，任何比r/s更接近x的有理数p/q都有一个大于d的分母q。

一般来说，每个实数在不同分母上限时的最优近似值是唯一的。不过还是例外的情况，如，当分母上限为6时，9/40有两个最优近似值1/4和1/5。若至少有一个分母上限使得x的最优近似值有两个，我们则称实数x是「模糊的」。显然，模糊的实数必然是有理数。

问：有多少个模糊的实数x = p/q，0 < x < 1/100且q不超过10⁸呢？

在一个较大的圆里放入三个半径相等的圆，这些圆相切且内部的圆没有交错的地方。于是大圆内就产生了四个「空隙」，我们再循环地给这些空隙填入圆，使之与其它圆相切。

在每次循环中，在空隙中填入的圆必须是与其它圆相切的最大的圆，于是给下一次循环提供了更多的空隙。经过3次循环后的情况如上图所示，其中总共有108个空隙，并且这些空隙的总面积与整个大圆面积的比率为0.06790342，精确到小数点后8位数。

问：经过10次循环后，空隙的面积与大圆的面积的比率为多少？

答案要精确到小数点后8位数。

现定义「平方立方数」为具有如此形式的数字：p²·q³，其中，p和q是不同的两个质数。

例如，200 = 5²·2³，120072949 = 23²·61³。

前五个平方立方数是：72, 108, 200, 392, 500。

有趣的是，200是第一个这样的数，不论你改变它的哪一位数，都不可能将它变成质数，我们称这样的数是「抗质数化的」。已知第二个含有「200」字样的抗质数化的平方立方数是1992008。

请找出第200个包含「200」字样的抗质数化的平方立方数。

给定任意数集A，设sum(A)为A的所有元素的和。

现有数集B = {1,3,6,8,10,11}。

B有20个仅含3个元素的子集，它们的元素之和如下：

1. sum({1,3,6}) = 10
2. sum({1,3,8}) = 12
3. sum({1,3,10}) = 14
4. sum({1,3,11}) = 15
5. sum({1,6,8}) = 15
6. sum({1,6,10}) = 17
7. sum({1,6,11}) = 18
8. sum({1,8,10}) = 19
9. sum({1,8,11}) = 20
10. sum({1,10,11}) = 22
11. sum({3,6,8}) = 17
12. sum({3,6,10}) = 19
13. sum({3,6,11}) = 20
14. sum({3,8,10}) = 21
15. sum({3,8,11}) = 22
16. sum({3,10,11}) = 24
17. sum({6,8,10}) = 24
18. sum({6,8,11}) = 25
19. sum({6,10,11}) = 27
20. sum({8,10,11}) = 29

有些和重复出现了多次，有些是唯一的。

对于数集A，设U(A,k)为A的仅含k个元素的子集的各自元素的和中只出现过一次的和的集合。如上例中，U(B,3) = {10,12,14,18,21,25,27,29}，且sum(U(B,3)) = 156。

现在再看这个有100个元素的集合S = {1², 2², ... , 100²}，S总共有100891344545564193334812497256个仅含50个元素的子集。

请确定S的所有50个元素的子集的元素之和中只出现过一次的和的总和，即，求出sum(U(S,50))。

我们用三面镜子组合出了一个等边三角形，镜面是朝里的。顶点处都有一无穷小的空隙，这样激光束就能进出了。

将三个顶点标为A、B、C，激光束可以有两种方式进入，经过11次反射后从原来的入口返回：其中一种过程如下图，而另一种只是下图的反过程而已。

另外，激光束还有80840种方式从顶点C进入，经过1000001次反射后从C点射出。

那么从点C进入，经过12017639147次反射后从同一顶点射出的方式有多少种呢？（译注：我还没理解题目……可无视希望有人能指点一下我）

二项式系数ⁿC_k可排列成如下三角形的数列，即Pascal三角（或杨辉三角）：

可见Pascal三角的前8层总共有12个不同的数字：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21, 35。

若正整数n无法被任一质数的平方整除，则称n为无平方因子数。以上12个数字中只有4和20不是无平方因子数，另外，那10个无平方因子数的和为105。

请求出Pascal三角前51层的所有不重复的无平方因子数的和。

没有大于5的质因数的正整数被称作Hamming数。

故头几个Hamming数有1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15。

已知不超过10⁸的Hamming数有1105个。

另外，还有泛Hamming数（广义的Hamming数），若某正整数没有超过n的质因数，则称它为关于n的泛Hamming数。因此上述的几个Hamming数是关于5的泛Hamming数。

现在问你：不超过10⁹的关于100的泛Hamming数有多少个？

Peter有九个四面骰（正四面体），每一面的点数分别是1, 2, 3, 4。

Colin有六个六面骰（立方体），每一面的点数分别有1, 2, 3, 4, 5, 6。

Peter和Colin各自掷骰，谁的点数总和最大就谁赢，点数一样就平局。

问：Peter赢的概率有多大呢？请将算出的答案精确到小数点后7位数（四捨五入）。

请找到这么一个数字，它的平方具有如下形式：

1_2_3_4_5_6_7_8_9_0

其中，「_」是指一位数。

对于某些正整数k，存在这么一个划分4^t = 2^t + k ，其中，4^t, 2^t, k都是正整数，且t是实数。

头两个这样的划分是4¹ = 2¹ + 2和4^1.5849625... = 2^1.5849625... + 6。

若划分中的t也是一个整数的话，就称之为完美划分。
　　对任意的m ≥ 1，令P(m)是k ≤ m的完美划分个数的倒数。因此，P(6) = 1/2。

如下是P(m)的一些值：

• P(5) = 1/1
• P(10) = 1/2
• P(15) = 2/3
• P(20) = 1/2
• P(25) = 1/2
• P(30) = 2/5
• ...
• P(180) = 1/4
• P(185) = 3/13

请找到最小的m，使得P(m) < 1/12345。

某个机器人做着一系列五分之一的圆（72°）的弧线运动，可以是顺时针或逆时针方向的，且无法在圆弧的端点上改变方向。

下图是一开始往北方经过25次弧线运动后使路径闭合的70932种情况中的一种：

假设这个机器人一开始面向北方，那么它经过70次弧线运动后回到起点的路径有多少种？（运动路径可以和以前的重合）

k输入二进制真值表即关于某些运算的所有从k个输入（二进制数字0［假］或1［真］）到一个输出的映射。例如，以下为「与」运算（AND）和「异或」运算（XOR）的2输入二进制真值表：

而这次的问题是：有多少个6输入二进制真值表，τ，满足以下的逻辑运算式呢？

设集合S(r)为满足|x| + |y| ≤ r的整数坐标点集(x,y)。

再设O为原点(0,0)，C为点(r/4,r/4)。

令N(r)为B点在集合S(r)中的个数，三角形OBC是钝角三角形，即是说其最大的内角α满足90°<α<180°。

因此，有N(4)=24，N(8)=100。

请问N(10,0000,0000)是多少？

设σ₂(n)为正整数n的所有因数的平方和，如：

σ₂(10) = 1 + 4 + 25 + 100 = 130

请求出小于6400,0000的正整数n中，所有σ₂(n)为完全平方数的n的和。

一个对齐到坐标轴的立方体，可用参数{ (x₀,y₀,z₀), (dx,dy,dz) }表示出来，这个立方体包含所有的点(X,Y,Z)，x₀ ≤ X ≤ x₀+dx, y₀ ≤ Y ≤ y₀+dy, z₀ ≤ Z ≤ z₀+dz。这个立方体的体积为dx × dy × dz，一堆立方体的混合体积是他们的混合之后的总体积，若立方体之间有重叠的话，混合体积会比所有单独的立方体加起来的体积更小。

设C₁,...,C₅₀₀₀₀为5,0000个对齐到坐标轴的立方体，C_n的参数表示为：

• x₀ = S_6n-5 mod 10000
• y₀ = S_6n-4 mod 10000
• z₀ = S_6n-3 mod 10000
• dx = 1 + (S_6n-2 mod 399)
• dy = 1 + (S_6n-1 mod 399)
• dz = 1 + (S_6n mod 399)

其中，S₁,...,S₃₀₀₀₀₀来自「滞后Fibonacci数生成器」：

• 当1 ≤ k ≤ 55时，S_k = [100003 - 200003k + 300007k³] mod 1000000
• 当56 ≤ k时，S_k = [S_k-24 + S_k-55] mod 1000000

于是，C₁的参数表达是{(7,53,183),(94,369,56)}，C₂的则是{(2383,3563,5079),(42,212,344)}，如此等等。

已知，前100个立方体C₁,...,C₁₀₀的混合体积是723581599。

问：这5,0000个立方体的混合体积是多少？

在一个30×30的网格中有900只跳蚤，刚开始每只跳蚤都单独呆在一个格子中。

每当铃铛被敲响时，每只跳蚤都随机地跳进相邻的格子中。（一般都有4种可能，除了某些呆在边缘和角落的跳蚤）

问题是：敲了50次铃之后，没有跳蚤的格子的个数的期望值是……？请将你的答案精确到小数点后6位数。

设φ是欧拉函数，即对于自然数n，φ(n)是n的与n互质的因数的个数。

通过欧拉函数，对每个正整数都能生成一串以1结尾的数字。
　　如，若以5开始，则可生成序列5,4,2,1。
　　如下是所有长度为4的序列：

• 5,4,2,1
• 7,6,2,1
• 8,4,2,1
• 9,6,2,1
• 10,4,2,1
• 12,4,2,1
• 14,6,2,1
• 18,6,2,1

其中只有两个数列是以质数开头的，这两个质数的和是12。

以4000,0000以下的数字生成的序列中长度是25的序列中，开头的所有质数的和是多少？

现在要用2×1和3×1的砖块来砌墙，为了让墙壁牢固一些，我们得避免构造出在上下层连续的缝隙。

如下图，这面9×3的墙壁是不符合安全规格的，出现的连续缝隙已由红线标记出来了：

已知砌一面合格的9×3墙壁的合格方式有9种，简记为W(9,3) = 8。

请你算出W(32,10)的值。

有整数t(n) = 2n²-1且n > 1。

前几个这样的数有7, 17, 31, 49, 71, 97, 127, 161，而其中只有49 = 7×7和161 = 7×23不是质数。

若n ≤ 1,0000，那么这样的数中会有2202个是质数。

请问：当n ≤ 5000,0000时，有多少个t(n)是质数？

若一个k位的正整数的前⌈^k/₂⌉位数的和，和它的后⌈^k/₂⌉位数的和相等，则称它是「平衡数」。其中，⌈x⌉是表示對x向上取整，即取大于等于x的最小整数，故⌈π⌉ = 4，⌈5⌉ = 5。

所以，比如说，所有的回文数都是平衡数，像13722也是。

设T(n)为小于10ⁿ.的所有平衡数的和。那么有T(1) = 45, T(2) = 540, T(5) = 334795890。

请你求出T(47) mod 3¹⁵的值。

有直角三角形的三边长分别为a=7, b=24, c=25，它的面积是84，84可被完美数6和28整除。

另外，它还是个朴素直角三角形，因为gcd(a, b)=1且gcd(b, c)=1。

还有，c是个完全平方数。

而符合以下两个条件的三角形就叫「完美直角三角形」：

1. 它是个朴素直角三角形
2. 它的斜边长是完全平方数

还有「超级完美直角三角形」：

1. 它是完美直角三角形
2. 它的面积能被完美数6和28整除

请问，斜边长c ≤ 10¹⁶的完美直角三角形中有多少个不是超级完美直角三角形？

设A和B为「比特串」（0和1的序列）。若B以A为开头，则称A是B的前缀。如，00110是001101001的前缀，但不是00111或100110的前缀。

一组大小为n的「无前缀相关性的」比特串，即，其中有n个不同的比特串，且任意两个比特串之间都不互为前缀。例如一组大小为6的比特串：

0000, 0001, 001, 01, 10, 11

现在假设每传送一个0要花费1便士，传送一个1要花费4便士。

则传送上述那组比特串总共要花费35便士，而这恰好是大小为6的一组无前缀相关性比特串在这个无理的价格标准下的最小花费了，我们把这个售价简写为Cost(6) = 35。

那么Cost(10⁹) 是多少呢？

令D₀为字符串"Fa"，对于n ≥ 1，D_n根据以下方式由D_n-1衍生而来：

• "a" → "aRbFR"
• "b" → "LFaLb"

因此，D₀ = "Fa", D₁ = "FaRbFR", D₂ = "FaRbFRRLFaLbFR"，如此等等。

其实这些字符串可以被解释为某个计算机图形程序的指令："F"表示前进1单位距离，"L"表示向左转90度，"R"则表示向右转90度，而"a"和"b"被忽略。而画笔的起始位置是(0,0)，向着(0,1)的方向。

那么D_n就是就是一条奇特的n阶龙形曲线。如，下图的D₁₀，每个"F"算一步，点亮的那个点(18,16)就是经过500步之后到达的位置。

那么画笔在D₅₀上经过10¹²步后所在的位置是……？

请以「x,y」且不留空格的格式提交答案。

我们称正整数A为「亚历山大数」，若存在整数p, q, r，使得：

例如，630是一个亚历山大数（p = 5, q = -7, r = -18），它是第6个亚历山大数，而前6个亚历山大数是：6, 42, 120, 156, 420, 630。

请求出第15,0000个亚历山大数。

若管道的内半径为50mm，至少要设置多长的直线管道才能容纳21个半径分别为30mm, 31mm, ..., 50mm的球？

答案要求精确到微米（10^-6 m），取四舍五入后的值。

若一个整数边长的三角形的三个边长a ≤ b ≤ c，満足以下条件，则称它是几乎锐角三角的：

a² + b² = c² + 1

问：在周长不大于2500,0000的整数边长的三角形中有多少个是几乎锐角三角的？

若一个整数边长的三角形的三个边长a ≤ b ≤ c，満足以下条件，则称它是几乎钝角三角的：

a² + b² = c² - 1.

问：在周长不大于7500,0000的整数边长的三角形中有多少个是几乎钝角三角的？

现有数列1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ...

它的定义方式为：T₁ = T₂ = T₃ = 1且T_n = T_n-1 + T_n-2 + T_n-3。

可见，这个数列的任一项都不能被27整除。

我们还能知道，27是第一个符合这个条件的第一个奇数。

现在请你求出无法整除上述数列中任一项的第124个奇数。

牛奶果冻曲线即点集(x,y)，0 ≤ x ≤ 1且。

其中，s(x)为x 到其最近的整数的距离。

这条曲线和水平线包围出来的区域面积等于½，在下图中已经着色为粉红色：

令C是圆心为(¼,½)，半径为¼的圆，在图中以黑线标出。

C所围得的牛奶果冻区域的面积是多少呢？

请把你的答案精确到小数点后八位数。

小游戏「奔跑」需要两个骰子和偶数个玩家。

玩家们围坐在桌子旁，游戏刚开始时，某两位在对角线上的玩家各自拥有一颗骰子。

每一轮，拿到骰子的玩家都要掷骰子，若掷到1，他就要把骰子交给他左边的那个玩家，若掷到6，就交给右边的那个玩家，否则骰子要继续保留在他那里。

当某位玩家拿到两个骰子时，游戏就结束了，那位玩家也就出局了。

在一个有100位玩家的奔跑游戏里，该游戏要结束需要的回合数的期望值是多少呢？

请把你的答案精确到小数点后10位数。

设S_n为实心的正n边形，其顶点v_k (k = 1,2,…,n)的坐标是：

现定义「Minkowski和」S+T，为将形状S的每个点(x, y)加到T的每个点(u, v)上得到的图形，新图形的每一个点的坐标为(u, v) + (x, y) = (u+x, v+y)。

如，S₃+S₄为下面粉红色的六边形：

问：S₁₈₆₄ + S₁₈₆₅ + … + S₁₉₀₉有多少条边？

3600是一个奇特的数字，因为：

3600 = 48² + 1×36²

3600 = 20² + 2×40²

3600 = 30² + 3×30²

3600 = 45² + 7×15²

类似的数字，还有88201 = 99² + 280² = 287² + 2×54² = 283² + 3×52² = 197² + 7×84²。

在1747年，数学家Euler就证明了正整数都能表示为两个平方数的和。而我们现在关心的是满足下面4种表示方式的数字n：

n = a₁² +   b₁²

n = a₂² + 2 b₂²

n = a₃² + 3 b₃²

n = a₇² + 7 b₇²

其中，a_k和b_k都是正整数。

已知，在不超过10⁷的数字中就有75373个这样的数字。

问：不超过2×10⁹的数字中总共有多少个这样的数？

对于任意两串数字A和B，设F_A,B为序列(A, B, AB, BAB, ABBAB, ...)，其中每一项都是其前两项的连接。

接着，设D_A,B(n)为F_A,B中至少为n位数的第一项的第n位数。

例如，

令A=1415926535, B=8979323846，假设我们要求D_A,B(35)。

F_A,B的前几项是：

1. 1415926535
2. 8979323846
3. 14159265358979323846
4. 897932384614159265358979323846
5. 14159265358979323846897932384614159265358979323846

于是，D_A,B(35) 为第5项的第35位数，即9。

现在，令A为π的小数点后100位数：1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

且令B为再接下来的100位数：8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196

请求出∑_n=0,1,...,17 10ⁿ×D_A,B((127+19n)×7ⁿ)。

已知二项式系数¹⁰C₃ = 120。

120 = 2³ × 3 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5且2 + 2 + 2 + 3 + 5 = 14。

因此该二项式系数的质因数分解的各项总和是14。

请求出二项式系数^20000000C_15000000的质因数分解中各项的总和。

两位玩家可轮流用一枚质地均匀的硬币来玩「赛跑游戏」。轮到玩家1时，他要抛一次硬币：若正面朝上，则他得到一分；若是反面朝上，则没有得分。轮到玩家2时，她要选定一个正整数T，然后掷T次硬币：若每次都是正面朝上，她就得到2^T-1分；否则，她没有得分。游戏先由玩家1开始，第一个达到100分或以上的玩家胜出。

假设玩家2在每一轮中都选择一个使她的获胜率最大的数字T，那么玩家2赢的概率是多少呢？

请把你的答案精确到小数点后8位数。