《更好的解释(数学篇)》——第九章
《更好的解释(数学篇)》——第十一章

《更好的解释(数学篇)》——第十章

λ posted @ 2011年9月18日 15:42 in Mixture with tags mathematics tutorial BetterExplained , 2078 阅读

轉載自 Gosin 的博客,點擊此處查看原文。

理解指數

我們知道指數就是重復的乘法。這是個很好的介紹,但是它不能解釋31.5 ,同樣也無法讓人理解00 。你怎麼能說清楚讓0乘以自己0次然後就得到1了。

你不能,當你把指數解釋為重復的乘法時你就沒法解釋。今天我們就要把這個模型做一次升級。

 

10.1 把算術看作是變換

讓我們再退回去看看——我們是怎麼學習算術的?我們知道數字是指一些東西的個數(手指),加法就是把這些個數組合起來(3+4=7),而乘法就是重復的加法(2×3=2+2+2=6)。

這種解釋在約整數身上很正確。但是用在像-1與根號2這類數字上就比較奇怪了。為什麼呢?

我們的模型並不完整。數字不隻是個數;更好的觀點是吧它們當作直線上的一點。這個點可以是負的(-1),也可以是其他數(根號2),或者是在另一個維度(i)。

算術就是對數進行變化的一種一般方法。加法就是沿著數軸進行移動(+3就是向右移動三個單位),乘法就是按比例縮放(×3就是放大三倍)。

那麼指數是指什麼呢?

10.2 進入“創世界”(Expand-O-Tron)

先讓我介紹一下創世界3000 。

是的,這台設備看起來像是一台劣質的微波爐——但是它並不是用來加熱食物而是用來使數字增長的。輸入一個數字,它就產生一個新的數。以下是整個過程:

  1. 以1.0開始
  2. 設置1秒後的增長倍數(2×,3×,10.3×)
  3. 設置增長的時長
  4. 按下開始鍵

太上老君如律令,快變!鈴聲響起,然後我們就得到了新鮮閃耀的數字。假設我們想把1變為9:

  1. 在“創世界”中輸入1.0
  2. 設置增長倍數為“3×”,時間為2秒。
  3. 按下開始鍵

我們按下開始後,數字就開始發生變化:我們看到1.0,1.1,1.2,……就在第一秒剛剛結束的時候,我們得到了3.0.然後繼續增長:3.1,3.5,4.0,6.0,7.5……然後就在第二秒結束的時候我們得到了9.0 。我們看到了閃亮的新數字。

從數學角度來講,“創世界”(指數函數)是在做:

原始數字·增長率時間 =新數字

或者是:

增長率時間 =新數字/原始數字

舉例來說,32 =9/1 。底就是每單位增長的量(3×),而指數就是增長的時間(2)。2n 這樣的公式就是說“使用’創世界‘以2倍的增長率增長n秒”。

記住,在“創世界”中我們總是以1開始,然後來觀察每單位的變化。如果我們想看看以3開始會發生什麼,我們隻需放大結果就可以了,舉例如下:

  • “以1開始,增長3秒”就是說1·23 =1·2·2·2=8
  • “以3開始,增長3秒”就是說3·23 =3·2·2·2=24

每當你看到一個普通的指數時(比如說23),那就是暗示它是以1開始,以2倍的增長率增長3秒所達到的值。

10.3 理解指數縮放因子

當我們做乘法運算時,我們可以表明最終的縮放因子。希望它有八倍大,乘以8就搞定了。

指數有些過於……苛求了:

你:我想增長一個數字。

創世界:好的,把它放進來吧。

你:它會有多大呢?

創世界:老兄,我現在不知道啊,讓我們走著瞧吧

你:走著瞧?我還以為你知道呢……

創世界:噓!!!它在增長,在增長!

你:……

創世界:好了,看看我的傑作吧!

你:我現在可以走了嗎?

“創世界”是間接的。看看它,你都不知道它會做出什麼:310 最後是多少?你對此有什麼感覺?不是直接完成比例系數,指數希望你能去感覺,去重生,甚至是去聞聞增長的進程。不管最後是什麼那都是你的比例系數。

聽起來像是繞圈子。你知道為什麼嗎?自然界中的許多事物都不知道將在何時終止!

你認為細菌知道每24小時翻一倍嗎?肯定不知道——它隻知道儘快吃掉你忘在冰箱裏的麵包,然後儘快的讓菌斑快速生長起來(當然,這純屬假設)。為了預測這種行為,我們輸入它們生長的速度,還有它們生長的時間,然後得出它們最後的總量。

肯定能得到一個答案——指數就是一種“給定初始條件,開始改變,然後看它結束時的量”的說法。“創世界”(我們的計算器)可以完成這種計算。總之總得有人完成這些計算。

10.4 理解分數冪

讓我們看看“創世界”能否幫助我們理解指數。首先:21.5 是什麼意思呢?

當我們把指數看作連續相乘時,這個問題就讓我們很疑惑。但是“創世界”讓它變得簡單:1.5隻是在這台機器中需要的時間罷了。

  • 21 就是說在這台機子中1秒的時間(增長了2倍)
  • 22 就是說在這台機子中2秒的時間(增長了4倍)

所以21.5 就是在這台機器匯總1.5秒,最後就是增長了2到4倍之間。而那個“重復計數”的想法則把我們困在了整數中。

10.5 指數相乘

如果是讓兩次增長緊接著發生會怎樣呢?就是說我們先用上這台機器2秒,然後緊接著又使用3秒:

x2 ·x3 =?

想想你家用的微波爐——這不就是連續使用5秒嗎?確實是這樣。這樣底保持不變,我們就可以把時間相加:

xy ·xz =xy+z

再一次的,“創世界”給了我們一個縮放因子來改變數字。為了得到兩次連續使用的總效果,我們隻需把時間相加就可以了。

10.6 平方根

讓我們繼續前進。假設我們有冪為a,增長3秒:

a3

不算太壞。如果增長一半的時間會是什麼結果呢?就是1.5秒:

a1.5

如果我們把這個過程做上兩次會是什麼結果呢?

a1.5 ·a1.5 =a3

換言之就是:部分增長×部分增長=總增長。

看看這個方程,我們看到“部分增長”就是總增長的平方根!如果我們把時間除以二就得到了它的平方根。如果我們除以3呢?

a1 ·a1 ·a1 =a3

或者:部分增長×部分增長×部分增長=總增長

我們得到了立方根!對我來說,這就是指數相除就可以得到根的直觀化理由:我們把時間分成了相等的部分,所以每一個“部分增長”的效果都一樣。如果是三個相同的效果相乘,那就是說它們都是立方根。

10.7 負指數

我們繼續深入——負指數是什麼意思呢?“負秒”就是讓時間倒流!如果時間倒流的話,原數值也應該隨之縮小:

2-1 =1/21

這就是說“1秒以前,我們有現在值的1/2”。事實上,這隻是任何指數圖像的一部分而已,比如說2x

任選一個點,比如說3.5秒(23.5 =11.3)。向前一秒現在的數值就會翻倍(24.5 =22.5)。向後一秒我們就得到了現在數值的一半(22.5 =5.65)。

這對任何數字都適用!即使是在我們的雙倍增長曲線的一百萬的那個點處,我們也隻不過是在它500000秒之前而已。

10.8 指數為零

讓我們再看看比較麻煩的一部分:30 意味著什麼呢?我們給機器設置了3倍的增長率,然後使用了0秒。0秒就意味著我們沒有使用這台機器!

我們新的值與舊的值完全一樣(新=舊),所以比例系數就是1。0指數就是說沒有變化。比例系數始終為1。

10.9 如果以0為底

我們如何解釋0x ?因為增長率為“0倍”——一秒之後,“創世界”就會把最初始的值給抹為0。但是如果我們在1秒後抹掉了數值,那麼以後的任何時間都為0:

01/n =01 的n次根=0的n次根=0

無論我們列舉的指數有多小,它們都是0的某次根而已。

10.10 0的0次指數

最後,是令人畏懼的00 。它的含義是什麼呢?讓“創世界”來幫助我們吧:

00 就是說以0倍增長0秒!

即使我們打算抹掉這個數字,但是我們根本沒有使用這台機器。沒有使用就是新的=舊的,而縮放系數是1。所以00 =1·00 =1·1=1——它並沒有改變什麼,謎題解開了!

(對於數學家來說:定義00 =1可以讓很多理論很自然的建立起來。在現實生活中,00 要根據具體情況來判斷(是連續的還是分立的)。類比微波爐並不嚴謹:但是它幫助我們理解00 =1為什麼合理,而“重復相乘”做不到這一點。)

10.11 高級:重復指數(a到b然後再到c)

重復指數需要一些技巧。下面該式表達了什麼呢?

(2a b

它表示“重復相乘,再重復相乘”——換言之就是“指數一次後再指數一次”,把它分解開來:

(23 4

  • 首先,我希望先翻倍增長3秒(23
  • 然後,不管新數字是多少(8倍),我希望它按照那個倍數增長4秒(84

第一個指數(3)就是取“2”然後自乘3次。第二個指數(4)就是把之前的數字自乘4次。

(23 4 =23 ×23×23×23 =23+3+3+3 = 212

重復計數幫助我們明白現在的處境。但是當我們繼續使用“創世界”進行類比後:我們第一次增長3秒,然後第二次再增長4秒。“創世界”同樣可以使用分數:

(23.1 )4.2

這就是說“先增長3.1秒,然後使用新數值增長4.2秒”。最後我們可以把它們合到一起(3.1×4.2):

(ab c =ab·c =(ac )b

重復指數有些奇怪,所以我們還是舉些例子:

  • (21 x 就是指“以2倍增長1秒,然後再按這種增長倍數增長x秒”。
  • 7=(70.5 2 就是說我們可以直接到達7,也可以,我們可以先用一半的時間增長到根號7,然後再把這個過程進行2秒,就得到了7。

我們就像孩子一樣學習7×3=3×7。

10.12 高級:為增長者重寫指數

“創世界”有點怪:數字隻要一進去就開始變化,但是我們想在每一秒結束時指定不同的增長倍率。

假設我們想在第一秒結束時有2倍的增長。但是我們怎麼知道開始時的增長率是多少呢?0.5秒的時候應該有多少呢?肯定不是完整值,否則我們就會計算出到超過實際的復利。

這就是關鍵點:寫作2x 的增長曲線是以觀察者的角度來看的,而不是增長者。

“2”是根據每個時間間隔後的結果來決定的,我們倒回去創造了這個指數(哦,這就像你在以2x 在增長一樣)。這樣做會讓我們看起來很舒服,但是對增長數量來說可就不好了——細菌,放射性元素還有金錢可不會對准我們設置的間隔!

自然不會這樣,這些傢伙隻知道它們現在的,當下的增長率,它們不會想去如何對齊我們設置的邊界。這就像理解角度與弧度一樣——弧度很“自然”因為它是從運動者的角度去考察的。

為了以增長者的角度考察這個問題,我們引入神奇的數字e。這其中有太多東西可講,但是我們在這裏隻是把“基於觀察者”的方程比如說2x轉化為“基於增長者”的方程:

2x =(eln(2)x =eln(2)x

在這個例子中,ln(2)=0.693=69.3%就是當下的增長率,當你問“創世界”每個週期2結束時2倍的增長是多少時,它就會回答以69.3%增長。

還有更多的細節有待挖掘,但是記住:

  • 當下的增長率是由細菌自己控制的。
  • 每個時間間隔的總體增長率是由觀察者測定的

從本質上說,任何指數曲線都可以化為ex 的某個比例的版本:

ax =(eln(a)x =eln(a)x

任何指數都是e的一個變化,就像任何一個數都是1的倍數一樣。

10.13 為什麼要進行類比?

真的有“創世界”嗎?所有的數字真的集中在一條直線上嗎?不實的——它們是觀察世界的一種方法。

“創世界”去除了對待21.5 甚至是00 次時的一些問題。這樣一來從計算尺到歐拉公式都可以按照增長這個主題來看待——即使是像ii 這樣的野獸也可以被馴服。

不要讓你的朋友們還在認為指數僅僅是重復相乘了。希望你能享受到快樂的數學。

 


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