《更好的解释(数学篇)》——第六章
《更好的解释(数学篇)》——第八章

《更好的解释(数学篇)》——第七章

λ posted @ 2011年9月18日 03:42 in Mixture with tags mathematics tutorial BetterExplained , 2347 阅读

轉載自 Gosin 的博客,點擊此處查看原文。

指數函數與e

e經常讓我感到困惑——不是指這個個字母,而是指這個數學常量。它是個什麼東西呢?

數學書甚至是我深愛的維基百科都是用一種死板的專業術語來描述e:

數學常量e是自然對數的底。

當你去查詢自然對數時,你會看到如下的解釋:

自然對數,正式的名稱叫作雙曲線對數,是e的對數,而e是一個無理數,其值大約等於2.7182818248459。

很漂亮的循環引用。這就像辭典用拜占庭式的風格來定義迷宮一樣的風格一樣:正確但是並沒有什麼幫助。我們的常用詞彙有什麼問題呢?比如說“複雜的”。

我不是在挑維基百科的錯——為了追求它們的“嚴格”,許多數學解釋都是很乏味並且正式的,但是這並不能幫助初學者去能理解這些話題(我們都是或者曾是個初學者嘛)。

不要再這樣了!今天我就跟你們分享一下我關於e的直觀化的、更高層次的解釋,看看它是怎麼震撼你之前的認識的。以後再看你數學課本上的“嚴格”解釋吧

7.1 e不隻是一個數字

描述e就是“一個常數,它的值等於2.71828……”就像是說π是“一個無理數,它大概等於3.1415……”。是的,這樣說沒錯,但是你完全忽略了其中的意義。

Pi是所有圓的圓周與長其直徑的比。它是所有圓都具有的一個基礎性的比,因此它也廣泛適用於圓周長的計算,面積,體積還有圓球的表面積,球體,圓柱體等等。Pi很重要,不隻是與所有的圓有關,還有從中衍生出來的三角函數(Sin,Cos,Tan等)。

e是所有連續增長過程中所共有的基本增長量。e讓你在一個簡單的增長率中(這種增長每年底結算一次)發現連續的、復合計算的、在每分每秒甚至更短的間隔內一直增長的巨大影響,即使時每時每刻隻增長一點。

e出現在任何連續的進行指數增長的系統中:人口,放射性衰變,利息計算以及其他系統中。即使是在不連續的增長系統中也可以近似使用e來表示。

正如所有數字都可以看作是1(基本單位)的“倍數”那樣,所有圓也可以看作是一個單位圓(半徑為1)的“倍數”,所有的怎張都可以看作是e(一單位的增長率)的“倍數”。

所以e不是一個模糊不清的數字。e代表了所有連續增長的系統共有的一個增長率。

7.2 理解指數增長

讓我們先來看一個經過一段時間後正好翻倍的基本系統。舉例如下,

  • 細菌可以進行分裂,而且每24小時就可以翻一倍。
  • 我們每次把麵條對半一份就可以得到翻倍的麵條
  • 如果你的錢可以收入100%的回報那麼它們每年就可以翻一倍(很幸運啊!)

它們看起來就像是:

分成兩份或者是翻倍是一個很常見的過程。沒錯,我們可以翻兩倍或者是翻三倍,但是翻倍處理起來舒服些,我們先處理這個。

數學上,如果我們讓x分裂,那麼我們最後會得到2x 個多的“東西”。1分裂後我們可以得到21或2倍多的東西。4分裂我們可以得到24 =16倍的東西。寫成方程式如下所示:

增長=2x

換言之,就是100%的增長率,我們可以把方程式寫成如下的形式:

增長=(1+100%)x

它們是完全等價的方程式,但是我們把“2”分開到底是什麼呢:原始的數值(1)再加上100%。很聰明吧?

當然,我們可以用其他數值(50%,25%,200%)來代替100%,那樣我們就得到了新的增長率公式。所以更一般的方程式可以寫成:

增長=(1+增加的部分)x

這就是說我們把(1+增長的部分)自乘了x次。

7.3 更詳細的探討

我們的公式假設我們的增長髮生在一定的間隔之後。細菌在等待,等待,然後就激增,它們在最後一分鐘翻倍了。我們的利息就在一年的時候突然就有了。根據以上的公式,增長是間斷的,然後瞬間就增長了。那些綠的點突然就冒出來了。

但是真實的世界並不是這樣的。如果我們放大查看的話,我們就會發現我們的細菌朋友每時每刻都在增長:

綠色先生並不是突然出現的:他從藍色先生中慢慢成長起來,經過一單位時間後(在這個例子中是24小時),綠色先生完全長大了,它成了一個完整的藍色先生,然後它又接著生出了它自己的綠色細胞。

這個細節改變了我們的方程式了嗎?

沒有。在細菌的例子中,處於一半形態的細菌還什麼都不能做,直到它們完全長大,並且脫離了它們的父母。方程式仍然適用。

7.4 有錢能使鬼推磨

但是對於錢來說就不一樣了。我們可以馬上賺到5毛錢的利潤(譯者在這裏做了惡搞修改,放心,這不會影響討論^_^),這個5毛可以產生自己的5毛。我們不需要等到有了1元的利息後再產生新的利息——新錢不需要老錢來生成。

根據我們之前的方程式,利息的增長看起來應該是這樣的:

但是再一次的,這也不是很准確:所有的利息都是直到最後一天才出現的。讓我們把它放大,然後把一年分為兩半。我們每年都賺到100%的利息,也可以說我們每六個月賺到50%的利息。那麼,我們前半年賺5毛,後半年又賺5毛:

但是這樣還是不准確!是的我們原來的一元(藍色先生)經過一年後又賺了一元。但是半年後我們又有了五毛,准備好了,我們忽略了一部分!那就是那個五毛也可以產生自己的利潤:

因為我們的增長率是每半年增長50%,那麼那個五毛可以賺到0.25元(5毛乘以50%)。一年之後我們就有:

  • 我們最開始的一元錢(藍色先生)
  • 最開始的一元錢賺到的錢(綠色先生)
  • 還有綠色先生賺到的0.25元(紅色先生)

總共有2.25元。我們從我們最開始的錢中賺到了1.25元,比翻倍還要多!

用公式表達出來,按照50%計算的兩段時間內的增長率是:

增長=(1+100%/2)2 =2.25

7.5 繼續深入到復合增長率中

是時候讓我們更進一步了。不再是把增長分在兩個時期中,其中各50%,讓我們把它分成3份,每份33%的增長率。誰說我們隻有等到半年後才能開始獲得收益?讓我們把它們分得更細一些。

用圖表把這個表示出來就很有趣了:

把每種顏色當作一部分另一種顏色所生的孩子,1/3的時間內:

  • 剛開始時:我們從藍色先生開始,我們隻有1元錢
  • 第四個月:藍色先生賺到了1/3的錢,而且它生出了綠色先生,有0.33元。
  • 第八個月:藍色先生有賺到了0.33元給了綠色先生,綠色先生現在又0.66元,綠色先生這時也賺到了0.11元,這就是紅色先生。
  • 第十二個月:情況開始變得更複雜了。藍色先生又賺了0.33元給了綠色先生,綠色先生現在正好有1元錢。而綠色先生也賺了0.22元,現在紅色先生總共有0.33元,而紅色先生最開始有0.11元,現在它也賺了0.04元,這就是紫色先生了。

嗖!經過一年後,最後我們有:1+1+0.33+0.04,大概有2.37元。仔細想想這是怎麼發生的吧:

  • 每個顏色都產生自己的利潤,並把它交給另一種顏色。新的顏色在下一個週期便可以產生自己的利潤。
  • 我喜歡把最開始的錢當作始終沒有變化。藍色部分產生錢給綠色先生,每四個月固定產生0.33元給綠色先生。在圖表中有個箭頭表示藍色先生是怎樣把錢給綠色先生的。
  • 綠色先生把自己產生的錢給了紅色先生,而這其中沒有藍色先生的貢獻。
  • 隨著時間的增加,綠色先生也在增長(而藍色先生一直保持不變),他給紅色先生越來越多的錢。在第四個月到第八個月之間,綠色先生給了紅色先生 0.11元,而在第八個月到第十二個月之間,綠色先生有.66元,所以它給了紅色先生0.22元。把圖表展開,綠色先生總共給了紅色先生0.33元,而綠 色先生則擁有整整一元錢。

明白了吧?剛開始時可能難以理解——我把圖表整合在一起時自己甚至也有些迷糊了。但是明白了每部分錢產生自己的錢,然後它們又產生自己的錢,如此週而復始,我便明白了。

分為3個週期後我們就可以得到如下的增長方程式:

增長=(1+100%/3)3 =2.37037……

我們賺到了1.37元,比之前的1.25元更多!

7.6 我們可以賺到無限多的錢嗎?

為什麼不取更小的時間間隔呢?如果換為每個月,每天,每小時,甚至是每個毫微妙呢?我們會馬上稱為億萬富翁嗎?

我們的收入會增加,但是會達到一個固定的點。試著把之前的方程式換成其他的值,看看結果:

數字變得更大,但是最終會集中在2.718附近。嘿……等等……這個好像就是e啊!

沒錯!用專業術語表示就是,e是在足夠小的時間間隔內按照100%復合增長的增長率:

$e = \lim_{n \to \infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n$

這個極限最終將集中在一個點,這個可以進行證明。但是正如你所看到的,我們可以取更小的數字來發現它確實集中在2.718附近。

7.7 這又意味著什麼呢?

數字e(2.718……)代表了在一段時間內按照100%進行復合增長所能達到的最大增長率。沒錯,當初你隻是期望從1增長到2而已。但是每一小步,你所創造的收益又會產生自己的收益。當這些結束後,你在一段時間內從1增長到了e(2.718),而不是2.

那麼,如果我們從1開始以100%進行復合增長,那麼我們將得到1e。如果我們以2開始就得到2e,以11.79開始就得到11.79e。

e就像是最高時速限制(就像光速c),告訴我們在一個連續的復合增長中所能達到的最快速度。

7.8 如果是不同的增長率呢?

問得好!如果我們每年增長50%而不是100%呢?我們還能適用e嗎?

讓我們看看。50%的復合增長會是這樣:

$\lim_{n \to \infty}\Big(1+\frac{0.50}{n}\Big)^n$

我們可以怎麼做呢?好吧假設50%分為了50份:

$\Big(1+\frac{0.50}{50}\Big)^{50} = (1+0.01)^{50}$

沒錯,這個並不是無限的,但是也夠多了。假設我們把通常的100%的增長分為1%大小:

$e \approx \Big(1+\frac{1.00}{100}\Big)^{100} = (1+0.01)^{100}$

啊哈,有些東西在這裏融為一體了。在我們的一般例子中,我們等於是把1%累加了100次,在50%的案例中,我們把1%累加了50次。

這兩個數字間有什麼區別呢?好吧,隻是改變了一半而已:

(1+0.01)50 =(1+0.01)100/2 =((1+0.01)100 )1/2 =e1/2

這就很有趣了。50/100=0.5,而e的指數正好也是0.5.推廣到一般情形:如果我們的增長率換為300%,我們就可以把300%分為1%一份。最後我們就會得到e3

即使增長率看起來像加法(+1%),但是我們必須切記它其實是乘法(×1.01)。這就是為什麼要使用指數(連續的自乘)以及平方根(e1/2 就是說隻改變了一半,舉例來說就是一半的乘法)

即使我們選擇1%,但是我們還可以選擇其他更小單位的怎張(0.1%,0.00001%甚至是無窮小!)關鍵在於無論我們取何值,都隻是e有一個新的指數而已。

7.9 如果是不同的時間間隔呢?

假設我們300%的增長在兩年後是多少呢。我們把每年的增長乘以它自己便得到:

增長=(e3 )2 =e6

更一般化的表示就是:

增長=(e增長率 時間 = e增長率·時間

因為神奇的指數,我們避免了處理冪而直接在指數中把增長率與時間相乘就可以了。

7.10 玄機:e使增長率與時間結合在一起

這很瘋狂!ex 可以把它們合並在一起:

  • x就是我們計算增長的時間:每年增長100%,3年後就是e3
  • x就是增長率:一年增長300%就是e3

這個不會讓它倆發生混淆嗎?我們的方程式會失效,世界會毀滅嗎?

它們完全可以在一起,當我們寫下:

ex

x其實就是增長率與時間的組合:

x=增長率·時間

讓我解釋一下。處理復合增長時,每年增長3%,增長十年與一年增長30%的效果一樣,不考慮之後的效應。

  • 每年增長3%,增長10年。就是說1%纍計了30次。這些變化發生在十年的時間內,每年連續增長3%。
  • 一年增長30%,也是說1%纍計了30次。隻不過是發生在一年之內,一年就改變了30%。

每個例子其實都是說“1%纍計了30次”。你的增長率越大所花費的時間越少,增長率越小,你所花費的時間越長。

但是在兩個例子中,最終的增長率都是e0.3 =1.35。我們更傾向於在短時間內獲得更大的增長,但是e告訴我們,其實它們都一樣。

所以,我們的公式變為:

增長=ex =er·t

如果我們在時間t內的增長率是r,那麼我們的凈增長就是er·t 。即使是對負數與分數,這個公式依然成立。

7.11 示例時間

示例讓許多事情變得更有趣。小提示:我們通常喜歡使用2x 或其他常規的式子,遇到復合增長感到困惑其實很正常(包括我在內)。稍後我們將遇到各種簡單的連續復合增長的例子。

這些例子都是指連續的平滑增長,而不是“跳躍性”的增長,比如說按年增長。可以把它們進行轉化,但是這不是這裏所要討論的。

示例1:寶石生長

假設我有一個300Kg的魔力寶石。它們之所以被稱作魔力寶石是因為它們每天都在生長:一個寶石,經過一天之後,會產出一個跟它重量相等的寶石。而新的寶石剛一產出就開始生長,但是我不可能追蹤這些細節——我更關註最開始的那個寶石能生出多少寶石。十天之後我有多少呢?

首先這是一個相當需要技巧的例子:我們的每天的增長率是100%,而我們想知道10天之後的復合增長率是多少。每個寶石隻知道100%(“每過24小時我要產生一個與自身重量相等的寶石”),而最終復合增長有多少(“那些寶石是你生出來的?呃,是它們自己生出來的”)

e就是那個神奇的變化因子:每天增長100%,那麼十天之後就有:300·e1·10 =660萬多公斤寶石。

在大多數情況下,我們通常不知道最開始的基本增長率是多少(e100% ,距離來說,我們紙知道一天之後1個寶石變為2.718個寶石),但是使用自然對數ln我們可以推出最初的增長率(這個例子中為100%)。

示例2:最大利率

假設我有120元,按照5%的利率計算。我的銀行很慷慨,給了最大的復利。10年之後我能賺多少錢呢?

利率是5%,而我很幸運可以連續計算復利。十年之後,我就有120·e0.05·10 =197.85。當然,大部分銀行不可能給你這麼好的福利。你實際的收入與你想像的連續收入的差別取決於他們有多不喜歡你。

示例3:放射性衰變

我有10公斤的放射性物質,它們每年都以100%的速度進行連續性衰變(這就是說,每年它們都要10公斤每年的速度進行衰變),3年後我還有多少呢?

0?沒有了?再想想。

我們剛開始的速度是每年100%,是的,我們剛開始有10公斤,然後預期一年後它將一點不剩。

但是猜猜這個:幾個月後,我們有5公斤。還剩下多少時間呃?從我們以“10公斤每年”開始後還有半年。

不是!我們現在有5公斤,我們現在的速度是5公斤每年,所以我們從現在開始還有整整一年呢!

再過幾個月等到它衰變到2公斤後。看看會發生什麼呢?我們的衰變速率變為2公斤每年,所以我們接下來又有整整一年。剩下1公斤時,我們又有一年,剩下0.5公斤時我們又有一年——看到其中的規律了嗎?

隨著時間的流逝,我們的物質發生衰變,但是衰變的速率也在減少。這個持續變慢的衰變過程就是持續復合增長的方面。

3年後,我們還有10·e-1·3 =0.498公斤。正如我們所看到的我們在衰變中使用了一個負指數:

  • 負增長率(減少)。負指數就等於給了一個分數(1/er·t)來減少
  • 負時間。一個負指數就像是讓時間倒流;不再是看10如何增長到0.498,而是看10如何變回0.498

負指數就是另一種改變:不再是增長而是減少。

更多例子

如果你想看些更驚艷的例子,試試Black-Scholes期權定價公式(註意e在其中作為一個價值指數減少)或是放射性衰變吧。我們的目標就是看er·t 在公式中的作用,以及理解為什麼會有它:它就是增長的或減少的模型。

你現在明白為什麼是e而不是π或其他數字:e中有“r·t”,它告訴你增長率與時間是如何產生影響的。

7.12 還有更多東西需要去學習

我的目標就是:

  • 解釋e為什麼很重要:這是一個基本常數,就像π一樣,它告訴我們關於增長的東西。
  • 給出一個直觀化的解釋:e讓你看到各種不同增長率所產生的影響。即使是新的部分(綠色先生,紅色先生等等)也可以在總增長中做出自己的貢獻。
  • 展示它是如何應用的:ert 讓我們可以預測各種增長率在不同時間段內的增長。
  • 讓你產生繼續學習的興趣:在接下來的章節中我會向你們展示更多關於e的性質

這隻是一個開始——在一個章節中填充太多東西會讓你我都感到很累。除去身上的灰塵,休息以下,准備學習e的邪惡雙胞胎,自然對數吧。

 


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