《更好的解釋(數學篇)》——EX001:理解复数的乘法是怎样实现的
《更好的解释(数学篇)》——第七章

《更好的解释(数学篇)》——第六章

λ posted @ 2011年9月18日 03:42 in Mixture with tags mathematics tutorial BetterExplained , 2862 阅读

轉載自 Gosin 的博客,點擊此處查看原文。

復數運算

虛數有一個直觀化的解釋:它把數字“旋轉”,就像負數把數字做了“鏡像”一樣。這種深刻的見解使得我們理解復數的元算變得十分簡單並且清晰,而且也可以很好的檢查一下你是否學會了這種見解。以下是我們的作弊表:

這一章我們將逐一檢驗一遍我們的直觀化的解釋。

6.1 復變量

在常規代數中,我們經常說“x=3”,這樣很好——有一個變量x,它的值是3。而在復數中,我們就會發現:有兩個維度需要討論。寫下:

z=3+4i

我們就是在說有一個變量z,它有兩部分:3(實數部分)與4i(虛數部分)。一個數有兩部分看上去有些怪,但是我們已經用過這種表示方法了。我們經常會寫:

$y = 3\frac{4}{10} = 3+0.4$

y有一個整數部分(3)與一個分數部分(0.4或4/10)並不會影響我們理解它。Y是兩部分的組合。復數也與之類似:在一個變量中它包含有實數部分與虛數部分(通常縮寫為Re與Im)。

不幸的是,我們沒有辦法把它們“合起來”記作一個數(像3.4那樣)。我有一個辦法把用黑筆把虛數部分垂直的寫在虛數上方,但是這種方法並不流行。所以我們還是繼續使用“a+bi”的形式吧。

6.2 測量大小

因為復數有兩個獨立的數軸,我們發現它的大小可以使用勾股定理:

那麼,復數3+4i的大小就是5。通常記作:|z|。

看起來很像是絕對值吧?其實從某種角度來看,它就是絕對值。|z|描述了復數距離零點的距離,就像是絕對值表示負數距離零點的距離一樣。

6.3 復數的加法與減法

我們通常見到的加法可以被認為是“移動”一段數字而得到。復數的加法也可以這樣類比,不過我們有兩個維度(實數與虛數)可以移動。舉個例子:

(3+4i)與(-1+i)相加就可以得到2+5i。

再一次的,這種可視化的解釋幫助我們理解“獨立的部分”是如何組合在一起的:實部與虛部各自處理再組合就可以了。

減法就是加法的逆——就是把它向相反的方向移動。減去(1+i)就是加上-1·(1+i),或者是加上(-1-i)。

6.4 復數的乘法

這裏數學就會變得很有趣。我們把兩個復數(x,y)相乘得到z:

  • 角度相加:角度(z)=角度(x)+角度(y)

  • 長度相乘:|z|=|x||y|

這就是說,z的角度是x的角度與y的角度的和,而長度就是它們的乘積。無論你相信與否,復數的這種性質幫了數學很大的忙!

長度相乘有它的意義——我們在一般的乘法中就是這麼做的(3×4就是把3跟4的長度相乘)。角度的相加需要更詳細的討論,我們以後再談(很好奇嗎?看看正余弦函數是如何相加的,並把它們與(a+bi)·(c+di)比較一下)。

現在舉另一個例子:我們把z=3+4i乘以它自己。在做數學運算前,我們已經知道:

  • 長度的結果會是25.因為z的長度為5,所以|z|·|z|=25

  • 角度的結果是大於90度。因為3+4i的角度大於45度(因為3+3i正好是45度),所以翻倍後比90度大。

接下來我們做數學運算:

(3+4i)·(3+4i)=9+16i2 +24i=-7+24i

現在來檢查一下我們預測:

  • 長度:$\sqrt{(-7)^2+24^2} = \sqrt{625}=25$ 跟我們的預測相符

  • 角度:因為-7是負的而24i是個正的, 我們便知道我們要“向後並向上”,這就是說將跨過90度(“直直的”)。專業一點就是,我們計算arctan(24/-7)=106.2度(記住我們在第二象限)。這個也驗證了我們的猜想。

漂亮。我們做數學運算時,還可以用我們關於旋轉與大小的直觀化認識來幫助我們檢查結果。如果最後的結果小於90度(比如說,向前又向上),或者我們的長度不是25,我們便知道計算出了一些問題。

6.5 復數的除法

除法就是乘法的逆運算。就像減法是加法的逆運算一樣。復數相除時(x/y),我們可以知道:

  • 角度相減:角度(z)=角度(x)-角度(y)

  • 長度相除:|z|=|x|/|y|

看起來很不錯。現在讓我們做一做這個除法:

(3+4i)/(1+i)

呃,該從哪裏開始呢?我們應該怎麼做這個除法呢?通常的代數解法並不能幫不上什麼忙,更不用說還有一個古怪的i(先生,先生,你知道1/i=-i嗎?兩邊同乘以i再看看一看啊。)幸好我們還有捷徑可走。

6.6 引入復數的共軛

我們做復數除法的第一個目標就是把角度相減。我們怎麼做呢?乘以與它相反的角度!這就會“加上”一個負的角度,等價於做了一次角度減法。

不再是z+bi,現在考慮以下z* =a-bi,叫作“復數共軛”。實部相等,但是虛部是一個“鏡像”。復數共軛或者說“想像的一種反射”有著相同的長度,但是角度相反!

所以,乘以a-bi就是減去一個角度。很簡潔。

復數共軛用星號(z* )或者是橫線表示()——數學家喜歡爭論這些表示法的好壞。不管哪種表示方法,復數的共軛都是把它們的虛部翻轉而已:

z=a+bi

它的復數共軛就是:

z* =a-bi

註意,b不一定是要“負的”。如果z=3-4i,那麼z* =3+4i。

6.7 乘以復數的共軛

如果乘以一個復數乘以它的共軛會發生什麼呢?z乘以z* 等於多少呢?看看這個:

z·z* =1·z·z*

所以我們選擇一個1(一個實數),加上z的角度,再加上z* 的角度。但是最後一個角度是負的——是個減法!所以我們最終的結果就是一個實數,因為我們把角度消掉了。數字就是|z|2 ,因為我們把大小乘了兩次。

現在讓我們再做一個例題:(3+4i)(3-4i)=9-16i2 =25

我們得到了一個實數,正如我們所預料的!數學愛好者同樣可以試一試這個代數運算:

(a+bi)(a-bi)=a2 +abi-abi+b2i2= a2 + b2

啊哈!最後結果沒有虛數部分,而隻是大小的平方。我們把復數的共軛認為是一種“反方向旋轉”幫助我們預測到了這一結果。

6.8 改變的你的數字

我們乘以一個共軛z* ,就相當於乘以一個|z*|。為了得到相反的效果,我們可以除以|z|,而要再是縮小了|z|我們再除一次即可。總的來說,如果我們乘以一個復共軛那麼我們就需要除以|z||z|來保持原數不變。

6.9 向我展示除法!

我之前迴避了一些除法,現在是見證奇跡的時刻。如果我們想計算

(3+4i)/(1+i)

我們可以馬上得到:

  • 旋轉一個相反的角度:乘以(1-i)而不是(1+i)

  • 除以長度的平方:除以|21/2|2 =2

答案是:

(3+4i)/(1+i)=(3+4i)(1-i)(1/2)=(3-4i2 +4i-3i)(1/2)=7/2+(1/2)i

更常見的方法是上下同乘以分母的復共軛。

我們通常隻是被告訴“隻管上下同乘以它的復共軛”就行了,而從來沒能明白其中的原因。今天我們搞明白了。

兩種方法都可以(通常使用後一種方法),但是用其中一種檢查另外一種也是個不錯的主意。

6.10 更多的數學技巧

現在我們既然理解了復共軛,這裏有幾個關於復共軛的性質:

  • (x+y)* = x* + y*

  • (x·y)* = x* · y*

第一個很容易理解,兩個數的和再“反射(求共軛)”等價於把它們的共軛相加。另一種理解的辦法是:移動兩個數然後再取反等價於同時把兩個數移動並取反。

第二個性質就比較難理解了。沒錯,代數運算或許可以,但是更直觀的解釋是什麼呢?(x·y)* 的結果就是:

  • 把長度相乘:|x|·|y|

  • 把角度相加並取共軛(相反):角度(x)+角度(y)變為 -角度(x)+ -角度(y)

而x* 乘以y* 就是:

  • 長度相乘:|x|·|y|(更上面的相同)

  • 共軛角度相加:角度(x*)+角度(y*)=-角度(x*)+-角度(y*)

啊哈!我們得到了相同的結果,而我們不需要用傳統的代數方法。代數方法也可以,但是並不是最讓人滿意的解釋。

6.11 一個簡單示例

共軛就是“撤銷”一次旋轉。試著這樣考慮:

  • 我存了$3,$10,$15.75,$23.5到我的帳戶。什麼交易會把這些交易抵消呢?相反的操作:加上它們,然後乘以-1.

  • 我通過幾次相乘把一套直線做了幾次旋轉:(3+4i),(1+i),(2+10i)。什麼樣的操作會把這些旋轉抵消呢?相反的操作:乘以這些復數,取它們的復共軛便得到結果。

看到了吧,復共軛就是相當於一種撤銷操作,就像負數撤銷了相加的效果一樣。警告:處理復共軛時,你需要除以|z||z|這樣才能抵消它們對大小的影響。

6.12 最後的一些想法

這裏的數學並沒有什麼新的東西,但是我一直沒意識到復共軛是怎麼發揮作用的。為什麼是a-bi而不是-a+bi呢?復共軛並不是一個隨意的選擇,是從虛數角度考慮的一種鏡像,正好就是相反的角度。

看到把虛數看作旋轉給了我們一種解決問題的新思路;“乘上再消去”給了我們一種直覺,即使是討論像復數一樣怪異的話題。希望你能享受到快樂的數學。

 


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