《更好的解释(数学篇)》——第七章
《更好的解释(数学篇)》——第九章

《更好的解释(数学篇)》——第八章

λ posted @ 2011年9月18日 14:37 in Mixture with tags mathematics tutorial BetterExplained , 3239 阅读

轉載自 Gosin 的博客,點擊此處查看原文。

自然對數(ln)

前一個章節我們在理解指數函數;接下來我們的目標是自然對數。

數學中給定的自然對數的定義,其中有著「自然」的一部分:它被定義為ex 的反函數。雖然ex 本身就夠奇怪了。

但是還有一種新鮮的,更加直觀的解釋:自然對數告訴你增長到一定值需要花費多少時間。

假設你投資了幹貝熊軟糖(誰沒有啊?),其中利潤率為100%,連續增長。如果你想獲得十倍的收入,假設它是按照複利計算的,那麼你隻需要ln(10)也就是2.302年就可以達到這一目標。不明白為什麼這麼多年就可以得到10倍的回報?再讀一讀前一章吧。

e跟自然對數是雙胞胎:

  • ex 是連續複合增長經過一段時間後所達到的數值。
  • 自然對數ln是達到一定值,連續增長所需要的時間。

這個結果不錯吧?當數學家們用冗長的,技巧化的解釋讓你困惑的時候,還是讓我們繼續深入到這個直觀化的解釋中去吧。

8.1 e是關於增長的

數字e是關於連續增長的。正如我們之前所瞭解到的,ex 讓我們把時間與增長率結合起來:連續複合增長的情況下,100%的增長率經過三年跟300%的增長率經過一年的效果一樣。

我們可以使用任何時間與增長率的組合(50%的增長率增長4年),而且可以轉化為更舒服的100%的增長率(100%的增長率增長兩年就可以了)。把增長率轉化為100%後,我們隻需要考慮時間就可以了:

ex =e增長率‧時間 =e1‧時間 =e時間

直觀化的看的話,ex 就是:

  • 經過x單位時間後能增長多少(以100%的增長率進行連續增長)
  • 舉個例子:三個單位時間後就原來東西可以增長到e3 =20.08倍多。

ex 就是一個比例係數,它告訴我們經過x單位時間後東西可以增長到多少。

8.2 自然對數是關於時間的

自然對數正好與e相反,一種非常好的形式。說到非常好,ln就是拉丁文logarithmus naturali的縮寫。

現在讓我們來看看相反意味著什麼?

  • ex 讓我們通過時間計算增長
  • ln(x)讓我們通過增長計算所耗時間

舉例如下:

  • e3 是20.08。經過3個單位時間後,我們得到了原來的東西的20.08倍。
  • ln(20.08)大約等於3,如果我們想增長到20.08倍,那麼我們就需要等3個單位時間(註意,我們假設連續增長率為100%)

通過我?自然對數告訴我們增長到一定值需要花費多長時間。

8.3 對數運算並不普通

你之前學過對數,它們確實很奇怪。它們怎麼會把乘法變為加法?除法變為減法呢?讓我來仔細看看。

ln(1)等於多少呢?直觀看來,這個問題就是:我花多長時間能增長到1倍大小呢?

0。你現在已經是1倍大小了!從1增長到1並不需要花任何時間。

ln(1)=0

OK,如果是一個分數呢?如何增長到現在的1/2呢?假設你的連續增長率是100%,我們知道ln(2)就是增長兩倍所需要花費的時間。如果我們把這個過程反過來(比如說取負時間),我們就得到了一半的值。

ln(0.5)=-ln(2)=-0.693

明白了吧?如果我們往回看(負時間)0.693秒,我們就得到了現在一半的值。一般來說,你可以把分數翻轉然後取負即可:ln(1/3)=-ln(3)=-1.09。這就是說如果時間往回1.09個單位,我們就得到了現在值的1/3。

OK,如果是一個負數的自然對數呢?細菌從1增長到-3需要花費多長時間呢?

這是不可能的!你能有「負數」個細菌嗎,不能吧?你最多(最少)也就是有0個細菌,但是你沒辦法擁有負數個細菌吧。負數個細菌沒有任何意義

ln(負數)=無定義

無定義意味著「沒有一個時間供你等待」其增長到負數(在歐拉公式中我們還將討論這一問題)。

8.4 對數乘法樂趣多多

花多長時間可以增長到現有值的四倍呢?沒問題,我們隻需要計算ln(4)就可以了。但是這太簡單了,讓我們增加點難度。

我們可以把4倍看作是翻倍一次(花費ln(2)的時間一次),然後再翻倍一次(再花費ln(2)的時間一次):

增長到四倍所需要的時間=ln(4)=兩次翻倍所用的時間=ln(2)+ln(2)

有意思吧。任何增長值,比如說20,可以看作是翻倍一次然後再十倍一次,也可以看作是4倍一次再五倍一次。或者是3倍一次,然後再6.66666倍一次。看到其中的規律了嗎?

ln(a‧b)=ln(a)+ln(b)

a乘以b的對數=log(a)+log(b)。當你把它們當作增長需要的時間後就很容易想通了。

如果我們想增長到30倍,我們可以直接等ln(30)長的時間,也可以先等ln(3)長的時間讓它增長到3倍,然後再等ln(10),再讓它增長十倍。最終效果是一樣的,所以最終花費的時間也是一樣的(事實確實如此)。

那麼除法呢?ln(5/3)就是說:增長到5倍,然後隻取其中的三分之一需要花費多長時間呢?

好吧,增長到5倍需要花費的時間是ln(5)。增長1/3花費的時間就是-ln(3)。那麼結果就是:

ln(5/3)=ln(5)-ln(3)

這就是說:增長5倍所用的時間,然後時間再往回退,知道達到1/3的增長,最後你還有5/3的增長。更一般化的表述就是:

ln(a/b)=ln(a)-ln(b)

我希望現在你能理解奇怪的對數運算:乘法就是把時間相加,除法就是把時間減去。不要去背誦規則,而是要理解它們。

8.5 使用任何增長率的自然對數

「是的,」你可以說,「這些關於對數的東西對100%的增長率適用,對50%的增長率呢?」

完全沒有問題。我們在ln()中使用的「時間」其實是時間與增長率的組合,x來自於我們的ex 方程。我們假設為100%隻是為了簡單,但是其實我們可以使用其他數字。

假設我們希望達到30倍的增長:帶入方程中就是ln(30),結果是3.4。這就是說:

ex =增長

e3.4 =30

直觀化的看這個方程是以100%的增長來考慮的。

但是我們也可以這樣看這個方程:

ex =e增長率‧時間

e100%‧3.4年 =30

我們可以修改「時間」與「增長率」,就以時間×增長率=3.4為例,我們可以有:

  • 100%的增長率增長4年=3.4‧1.0=3.4
  • 200%的增長率增長2年=1.7‧2.0=3.4
  • 50%的增長率增長7年=6.8‧0.5=3.4
  • 5%的增長率增長68年=68‧0.5=3.4

很酷吧?自然對數可以適用於任何增長率與時間,隻要它們的乘積相同。你可以隨意調整這些變量。

8.6 非常棒的例子:72法則

72法則http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_72)是一種快捷的心算法來幫助你計算花多少時間可以讓你的錢翻倍。我們將把它衍生一下,甚至讓它更好,我們以一種更直觀化的角度來理解它。

在100%的增長率下按年進行複合增長,需要花多長時間可以讓你的錢翻倍呢?

哦,之前我們的討論一直是侷限在連續的增長,現在你要讓我計算年利?這不會讓我們的公式變得更麻煩嗎?對,確實會這樣,但是但是在一些利率下,比如 說5%,6%甚至是15%,年利與連續利息其實並沒有太大不同。所以一個大概的公式就可以了,在一種粗略的情況下我們把它們當作完整的連續增長就可以了。

現在問題就很簡單了:在100%的增長率時我們需要花多長時間才可以翻倍?ln(2)=0.693。大概就是0.693個單位時間(在這裡是一年)吧就可以讓你的錢翻倍了。

OK,如果我們的增長率不是100%而是5%或10%呢?

很簡單。隻要時間×增長率=0.693,我們的錢就會翻倍:

  • 時間‧增長率=0.693
  • 時間=0.693/增長率

那麼,如果我們隻有10%的增長率,隻需要計算0.693/10%也就是6.93年就可以讓我們的錢翻倍。

為了做一些簡化,讓我們乘以100,這樣就可以避免0.1而可以討論10了

翻倍所用時間=69.3/增長率,這裡假設增長率用百分數表示

那麼5%的增長率下,翻倍所用的時間就是69.3/5也就是13.86年了。然而69.3並不容易進行除法。讓我們就選擇一個與它很接近的數來代替,比如說可以被2,3,4,6,8等整除的72吧。

翻倍所用的時間=72/增長率

這就是72法則!很簡單吧。

如果你想知道花多少時間能讓你增長到3倍,你隻需用ln(3)約等於109.8,這樣你就可以得到:

增長三倍所用的時間=110/增長率

這又是一個很有用的法則。72法則在利率計算,人口計算,細菌培養以及其他涉及到指數增長的方面都有很廣泛的用處。

8.7 從這裡可以到哪裡呢?

我希望自然對數能有更多意義——它告訴指數增長增長到任一確定的值所需要的時間。我認為正是因為它是指數增長的一個通用數值,所以它才被稱為「自然」,那麼ln就可以幫我們找出需要多少來增長的一個通用函數了。

當你看到ln(x)時,隻要想到「增長到x所要用的時間」就好了。

8.8 附錄:e的自然對數

小謎題:ln(e)等於多少?

  • 數學機器人告訴你:因為它們互為相反函數,所以很顯然ln(e)=1
  • 具有直覺的人類:ln(e)就是增長到e(大概是2.718)所要花費的時間。但是e是經過一單位時間所能增長到的數值,所以ln(e)=1。

直觀化的思考。

 


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